Najmniejsze pole trójkąta wpisanego w kwadrat

Rozwiązanie krok po kroku

Pole jako różnica i wierzchołek paraboli

1. Tę samą funkcję można zapisać w postaci kanonicznej $\mathsf{P}(\mathsf{x})=(\mathsf{x}-2{)}^2+16$, gdzie wierzchołek ma współrzędne $(2,16)$. Dla kwadratu $\mathsf{a}=\mathsf{b}$.
2. Dane i oznaczenia
3. $|\mathsf{CF}|=\mathsf{x}$ oraz $|\mathsf{EB}|=2x$, $\mathsf{x}\in (0,4)$ (rysunek w treści zadania)
4. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\text{pole }△\mathsf{DEF}$
5. Pole jako różnica
6. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=40-{\mathsf{S}}_{\mathsf{ADE}}-{\mathsf{S}}_{\mathsf{DCF}}-{\mathsf{S}}_{\mathsf{EBF}}$
7. pole figury $\mathsf{ABCD}$ bez trzech trójkątów prostokątnych w narożach $\mathsf{A}$, $\mathsf{C}$, $\mathsf{B}$
8. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\frac{2}{2}{\mathsf{x}}^2-\frac{8}{2}\mathsf{x}+\frac{40}{2}$
9. przyprostokątne narożników wyrażamy przez $\mathsf{x}$; składniki liniowe od $|\mathsf{EB}|$ i $|\mathsf{CF}|$ częściowo się znoszą
10. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\boxed{x^2-4x+20}$
11. Wierzchołek: x minimalizujące pole
12. ramiona w górę ($\mathsf{a}>0$), więc wierzchołek daje minimum
13. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\frac{4}{2\cdot 1}$
14. pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli ${\mathsf{a}}_2{\mathsf{x}}^2-{\mathsf{a}}_1\mathsf{x}+{\mathsf{a}}_0$
15. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\frac{4}{2}=\boxed{2}$
16. Najmniejsze pole
17. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{min}}=1\cdot 2^2-4\cdot 2+20$
18. wstawiamy ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}$ do wzoru funkcji $\mathsf{P}$
19. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{min}}=\boxed{16}$

Najczęstsza pomyłka: użycie wzoru ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\frac{-\mathsf{b}}{\mathsf{a}}$ bez podzielenia przez $2a$, co podwaja wynik, albo podanie wartości pola ${\mathsf{P}}_{\mathsf{min}}$ w miejsce szukanego $\mathsf{x}$.

Współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$ jest dodatni, więc parabola ma minimum w wierzchołku, a wartość ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}$ zawsze leży wewnątrz przedziału $(0,4)$.