Wyznacz parametr z różnicy pierwiastków

Rozwiązanie krok po kroku

Postać kanoniczna wyróżnika

1. Krańce pochodzące z warunku $\mathsf{\Delta }>0$ zostają wyłączone, bo tam funkcja ma jedno miejsce zerowe.
2. Wyróżnik jako funkcja parametru
3. $\mathsf{f}(\mathsf{x})={\mathsf{x}}^2-4x+{\mathsf{m}}^2-22$
4. współczynniki trójmianu względem $\mathsf{x}$ to $\mathsf{a}=1$, $\mathsf{b}=-4$ oraz $\mathsf{c}={\mathsf{m}}^2-22$
5. $\mathsf{\Delta }=16-4\left({\mathsf{m}}^2-22\right)$
6. po opuszczeniu nawiasu i redukcji wyrazów podobnych zostaje trójmian zmiennej $\mathsf{m}$
7. $\mathsf{\Delta }=-4{\mathsf{m}}^2+104$
8. wyrazy z $\mathsf{m}$ zwijamy do kwadratu różnicy, dzięki czemu obie nierówności zadania będą miały tę samą lewą stronę
9. $\mathsf{\Delta }=4\left[26-{\mathsf{m}}^2\right]$
10. Dwa różne miejsca zerowe
11. $\mathsf{\Delta }>0$
12. $4\left[26-{\mathsf{m}}^2\right]>0$
13. dzielimy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje, a wyraz wolny przenosimy na prawą stronę
14. ${\mathsf{m}}^2<26$
15. obie strony są nieujemne, więc pierwiastkowanie zachowuje kierunek nierówności
16. $\left|\mathsf{m}\right|<\sqrt{26}$
17. moduł rozbijamy na dwa przypadki i zapisujemy wynik jako zbiór na osi
18. $\mathsf{m}\in \boxed{(-\sqrt{26},\sqrt{26})}$
19. Warunek z treści
20. $({\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2{)}^2\ge 100$
21. $({\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2{)}^2\ge 100$
22. ze wzorów Viète'a $\left|{\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2\right|=\sqrt{\mathsf{\Delta }}$, więc badane wyrażenie to sam wyróżnik
23. $\mathsf{\Delta }\ge 100$
24. podstawiamy postać kanoniczną wyróżnika i dzielimy obie strony przez 4
25. ${\mathsf{m}}^2\le 1$
26. obie strony są nieujemne, więc pierwiastkowanie zachowuje kierunek nierówności
27. $\left|\mathsf{m}\right|\le 1$
28. moduł rozbijamy na dwa przypadki i zapisujemy wynik jako zbiór na osi
29. $\mathsf{m}\in \boxed{⟨-1,1⟩}$
30. Część wspólna obu warunków
31. $\mathsf{m}\in (-\sqrt{26},\sqrt{26})\text{oraz}\mathsf{m}\in ⟨-1,1⟩$
32. parametr musi spełniać oba warunki naraz, więc bierzemy wspólną część zbiorów
33. $\mathsf{m}\in \boxed{⟨-1,1⟩}$

Najczęstsza pomyłka: rozwiązanie samej nierówności z treści, <strong>bez warunku $\mathsf{\Delta }>0$</strong>. Do zbioru trafiają wtedy wartości parametru, dla których funkcja nie ma dwóch różnych miejsc zerowych.