Parametr, dla którego pierwiastki leżą w przedziale

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunki na pierwiastki w przedziale

1. Klucz to komplet czterech warunków ($\mathsf{\Delta }>0$, znak na obu końcach, wierzchołek wewnątrz) - pominięcie któregokolwiek daje za szeroki lub za wąski zbiór parametru.
2. Krok 1. Współczynniki trójmianu
3. Ze wzoru odczytujemy współczynniki przy ${\mathsf{x}}^2$, przy $\mathsf{x}$ oraz wyraz wolny.
4. $\begin{array}{rl}f(x)& =-t^2{x}^2+2tx+8t-1\\ & \Rightarrow \text{przy }{x}^2:-t^2,\text{przy }x:2t,\text{wolny}:8t-1\end{array}$
5. Krok 2. Wyróżnik $\mathsf{\Delta }$
6. $\mathsf{\Delta }={\mathsf{b}}^2-4ac$
7. wstawiamy odczytane współczynniki
8. $\mathsf{\Delta }=(2t{)}^2-4\cdot (-{\mathsf{t}}^2)\cdot (8t-1)$
9. składnik ${\mathsf{b}}^2$ skraca się z częścią $-4ac$, zostaje wyraz z ${\mathsf{t}}^3$
10. $\mathsf{\Delta }=\boxed{32t^3}$
11. Krok 3. Wierzchołek i komplet warunków
12. Współrzędna wierzchołka ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=-\frac{\mathsf{b}}{2a}$.
13. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=-\frac{\mathsf{b}}{2a}=-\frac{2t}{2\cdot (-{\mathsf{t}}^2)}$
14. po skróceniu $\mathsf{t}$ zostaje odwrotność parametru
15. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\boxed{\frac{1}{t}}$
16. oba różne pierwiastki są w $(-6,6)$ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą wszystkie cztery warunki jednocześnie
17. $\mathsf{\Delta }>0\wedge \mathsf{f}(-6)<0\wedge \mathsf{f}(6)<0\wedge -6<{\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}<6$
18. Krok 4. Znak $\mathsf{f}(6)$
19. Warunek na prawym końcu rozstrzyga nierówność - liczymy $\mathsf{f}(6)$ i rozkładamy.
20. $\mathsf{f}(6)=-{\mathsf{t}}^2\cdot 36+2t\cdot 6+8t-1$
21. grupujemy wyrazy: kwadratowy, liniowy i wolny
22. $\mathsf{f}(6)=-36{\mathsf{t}}^2+20t-1$
23. trójmian względem $\mathsf{t}$ zapisujemy jako iloczyn dwóch czynników liniowych
24. $\mathsf{f}(6)=\boxed{-(2t-1)(18t-1)}$
25. Krok 5. Część wspólna warunków
26. $\mathsf{\Delta }>0$ i wierzchołek są spełnione dla $\mathsf{t}>0$; o granicy decyduje znak $\mathsf{f}(6)$.
27. $\mathsf{f}(6)<0⟺(2t-1)(18t-1)>0\Rightarrow \mathsf{t}>\frac{1}{2}$
28. iloczyn czynników jest dodatni powyżej większego pierwiastka; razem z pozostałymi warunkami daje półprostą
29. $\mathsf{t}\in \boxed{(\frac{1}{2},+\infty )}$

Sprawdzenie tylko $\mathsf{\Delta }>0$ i $\mathsf{f}(6)<0$, bez warunku na drugim końcu i bez położenia wierzchołka. Pierwiastki mogą wtedy wpaść poza przedział $(-6,6)$.

Znaki funkcji na końcach zależą od kierunku ramion: dla ramion w górę żądamy $\mathsf{f}(\pm 6)>0$, dla ramion w dół $\mathsf{f}(\pm 6)<0$ (czyli $\mathsf{a}\cdot \mathsf{f}(\pm 6)>0$).