Wzory Viète'a i nierówność z potęgami pierwiastków

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wzory Viète'a i nierówność

1. Krok 1. Dwa różne pierwiastki
2. warunek $\mathsf{\Delta }>0$
3. $\mathsf{\Delta }={\left(\mathsf{k}\right)}^2-4\cdot \left(\mathsf{k}\right)>0$
4. równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dokładnie wtedy, gdy delta jest dodatnia
5. ${\mathsf{k}}^2-4k>0$
6. wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
7. $\mathsf{k}\left(\mathsf{k}-4\right)>0$
8. parabola z ramionami w górę przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz miejsc zerowych
9. $\boxed{k\in (-\infty ;0)\cup (4;+\infty )}$
10. Krok 2. Wzory Viète'a
11. ${\mathsf{x}}_1+{\mathsf{x}}_2=-\mathsf{k},{\mathsf{x}}_1{\mathsf{x}}_2=\mathsf{k}$
12. sumę kwadratów pierwiastków wyrażamy przez ich sumę i iloczyn
13. ${\mathsf{x}}_1^2+{\mathsf{x}}_2^2={\left(-\mathsf{k}\right)}^2-2\cdot \left(\mathsf{k}\right)$
14. podstawiamy wzory Viète'a i redukujemy
15. $\boxed{x_1^2+x_2^2=k^2-2k}$
16. Krok 3. Warunek jako nierówność parametru
17. ${\mathsf{x}}_1^2+{\mathsf{x}}_2^2+2{\mathsf{x}}_1{\mathsf{x}}_2\le 9$
18. lewa strona to rozwinięty kwadrat sumy pierwiastków
19. ${\left({\mathsf{x}}_1+{\mathsf{x}}_2\right)}^2\le 9$
20. wstawiamy sumę pierwiastków z kroku 2
21. ${\left(-\mathsf{k}\right)}^2\le 9$
22. kwadrat znosi znak minus
23. ${\mathsf{k}}^2\le 9$
24. Krok 4. Rozwiązanie nierówności
25. ${\mathsf{k}}^2\le 9$
26. nierówność kwadratowa - porównujemy wartość bezwzględną parametru z pierwiastkiem progu
27. $\boxed{-3\le k\le 3}$
28. Krok 5. Część wspólna
29. przecięcie z warunkiem $\mathsf{\Delta }>0$
30. $\mathsf{k}\in (-\infty ;0)\cup (4;+\infty )$
31. rozwiązanie nierówności z kroku 4 przecinamy z warunkiem istnienia dwóch różnych pierwiastków
32. $\boxed{\mathbf{k}\in [-3;0)}$