Znajdź największe pole bryły

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wzór pola i wierzchołek paraboli

1. Wierzchołek leży wewnątrz przedziału $\left(0,\frac{7}{3}\right)$, więc obliczona wartość jest długością krawędzi rzeczywistego prostopadłościanu.
2. Krok 1. Trzecia krawędź
3. Prostopadłościan ma po cztery krawędzie każdej z trzech długości.
4. $4x+4\cdot 5\mathsf{x}+4|\mathsf{AD}|=56$
5. suma dwunastu krawędzi to poczwórna suma trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka
6. $\mathsf{x}+5x+|\mathsf{AD}|=14$
7. obie znane krawędzie wyrażają się przez x
8. $6x+|\mathsf{AD}|=14$
9. po lewej stronie zostaje szukana krawędź
10. $|\mathsf{AD}|=\boxed{14-6x}$
11. Krok 2A. Dziedzina
12. każda krawędź ma dodatnią długość
13. $14-6x>0$
14. trzecia krawędź istnieje tylko wtedy, gdy jej długość jest dodatnia
15. $6x<14$
16. dzielimy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje
17. $0<\mathsf{x}<\frac{7}{3}$
18. x jest długością krawędzi, więc od lewej ogranicza je zero
19. $\mathsf{D}=\boxed{\left(0,\frac{7}{3}\right)}$
20. Krok 2B. Wzór funkcji $\mathsf{P}$
21. sumujemy pola ścian
22. $\mathsf{P}=2\cdot |\mathsf{AE}|\cdot \left(|\mathsf{AB}|+|\mathsf{AD}|\right)$
23. w miejsce krawędzi wstawiamy wyrażenia zależne od x
24. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=2\cdot 5x\cdot \left(\mathsf{x}+(14-6x)\right)$
25. po wymnożeniu nawiasów zostaje trójmian bez wyrazu wolnego
26. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\boxed{-50{\mathbf{x}}^2+140x}$
27. Krok 3. Największa wartość
28. współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$ jest ujemny, więc ramiona paraboli idą w dół
29. $\mathsf{a}=-50,\mathsf{b}=140$
30. największa wartość funkcji kwadratowej wypada w wierzchołku
31. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\frac{-140}{2\cdot \left(-50\right)}$
32. minusy w liczniku i mianowniku się znoszą
33. $\mathsf{x}=\boxed{\frac{7}{5}}$

Oś symetrii między miejscami zerowymi

1. Krok 1. Miejsca zerowe
2. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=-50{\mathsf{x}}^2+140x$
3. trójmian bez wyrazu wolnego rozkłada się na czynniki od razu
4. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\mathsf{x}\left(140-50x\right)$
5. iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników
6. ${\mathsf{x}}_1=0,{\mathsf{x}}_2=\boxed{\frac{14}{5}}$
7. Krok 2. Wierzchołek w połowie
8. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\frac{{\mathsf{x}}_1+{\mathsf{x}}_2}{2}$
9. parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek
10. $\mathsf{x}=\boxed{\frac{7}{5}}$

Pominięcie warunku, że trzecia krawędź musi być dodatnia. Bez niego dziedziną wychodzi cały przedział liczb dodatnich zamiast $\left(0,\frac{7}{3}\right)$, a wzór funkcji opisuje bryłę, która nie istnieje.

Wynik $\mathsf{x}=\frac{7}{5}$ nie musi być liczbą całkowitą, bo współczynniki wzoru $\mathsf{P}$ zależą od proporcji krawędzi. Warunkiem poprawności jest to, że wierzchołek leży wewnątrz dziedziny.