Największe pole powierzchni prostopadłościanu

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: funkcja kwadratowa i jej wierzchołek

1. Krawędź $|\mathsf{AB}|$ o długości $7$ daje prostopadłościan o największym polu powierzchni całkowitej.
2. Krok 1. Krawędzie z wierzchołka B
3. trzecia krawędź w zależności od $\mathsf{x}$
4. $|\mathsf{AB}|+|\mathsf{BC}|+|\mathsf{BF}|=22$
5. z wierzchołka $\mathsf{B}$ wychodzą dokładnie trzy krawędzie: znana, szukana i trzecia
6. $\mathsf{x}+8+|\mathsf{BF}|=22$
7. odejmujemy znaną długość od obu stron równania
8. $\mathsf{x}+|\mathsf{BF}|=22-8=14$
9. zostawiamy po lewej stronie tylko trzecią krawędź
10. $|\mathsf{BF}|=\boxed{14-x}$
11. Krok 2. Wzór funkcji $\mathsf{P}$
12. $\mathsf{P}=2\left(|\mathsf{AB}|\cdot |\mathsf{BC}|+|\mathsf{AB}|\cdot |\mathsf{BF}|+|\mathsf{BC}|\cdot |\mathsf{BF}|\right)$
13. pole powierzchni całkowitej to podwojona suma pól trzech różnych ścian
14. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=2\left(8\mathsf{x}+8(14-\mathsf{x})+\mathsf{x}(14-\mathsf{x})\right)$
15. składniki $8x$ i $-8x$ redukują się
16. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=2\left(-{\mathsf{x}}^2+14x+112\right)$
17. mnożymy każdy składnik nawiasu przez $2$
18. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=\boxed{-2x^2+28x+224}$
19. Krok 3. Dziedzina funkcji $\mathsf{P}$
20. $\mathsf{x}>0\text{i}14-\mathsf{x}>0$
21. obie krawędzie muszą mieć dodatnią długość
22. $\mathsf{x}>0\text{i}\mathsf{x}<14$
23. oba warunki muszą zachodzić jednocześnie
24. $\mathsf{D}=\boxed{(0,14)}$
25. Krok 4. Wierzchołek paraboli
26. $\mathsf{a}=-2<0$, więc $\mathsf{P}$ przyjmuje w wierzchołku wartość największą
27. $\mathsf{p}=\frac{-\mathsf{b}}{2a}=\frac{-28}{2\cdot (-2)}$
28. podstawiamy $\mathsf{b}=28$ oraz $\mathsf{a}=-2$ ze wzoru funkcji $\mathsf{P}$
29. $\mathsf{p}=\frac{-28}{-4}=7$
30. wierzchołek należy do dziedziny $(0,14)$, więc jest rozwiązaniem
31. $\mathsf{x}=\boxed{7}$