Wyznacz ekstremum sumy kwadratów

Rozwiązanie krok po kroku

Funkcja kwadratowa jednej zmiennej

1. Krok 1. Jedna zmienna i dziedzina
2. $2\mathsf{x}+\mathsf{y}=24$
3. zmienną ze współczynnikiem 1 wyznaczamy bez ułamków
4. $\mathsf{y}=24-2\mathsf{x}$
5. obie liczby są nieujemne, więc y nie może spaść poniżej zera
6. $24-2\mathsf{x}\ge 0$
7. nierówność daje prawy koniec przedziału
8. $\boxed{x\in ⟨0,12⟩}$
9. Krok 2. Wzór funkcji
10. $4{\mathsf{x}}^2+2{\mathsf{y}}^2$
11. podstawiamy wyznaczoną zmienną do wyrażenia
12. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=4{\mathsf{x}}^2+2(24-2x{)}^2$
13. rozwijamy kwadrat różnicy
14. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=4{\mathsf{x}}^2+2(576-96x+4{\mathsf{x}}^2)$
15. mnożymy nawias przez wagę i zbieramy wyrazy z tą samą potęgą
16. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\boxed{12x^2-192x+1152}$
17. Krok 3. Wierzchołek paraboli
18. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\frac{-\mathsf{b}}{2a}=\frac{192}{2\cdot 12}$
19. współczynnik przy kwadracie jest dodatni, ramiona paraboli idą w górę, więc najmniejsza wartość leży w wierzchołku
20. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\boxed{8}\in ⟨0,12⟩$
21. Krok 4. Liczby i wartość
22. $\mathsf{y}=24-2\cdot 8=8$
23. wartość liczymy w znalezionym punkcie
24. $4\cdot 8^2+2\cdot 8^2$
25. ten sam wynik daje f(x) dla znalezionego argumentu
26. $\mathsf{x}=8,\mathsf{y}=8,\text{wartosˊcˊ }\boxed{384}$