Wyznacz ekstremum wyrażenia

Rozwiązanie krok po kroku

Funkcja kwadratowa jednej zmiennej

1. Krok 1. Zapisz W i zależność
2. $\mathsf{x}-\mathsf{y}=9$
3. z tej równości wynika $\mathsf{x}>\mathsf{y}$ dla każdego $\mathsf{x}$, więc warunek zadania nie zawęża dziedziny
4. $\mathsf{y}=\boxed{x-9},\mathsf{W}=6y+2{\mathsf{x}}^2$
5. Krok 2. Jedna zmienna
6. $\mathsf{W}=6\mathsf{y}+2{\mathsf{x}}^2$
7. podstawiamy zależność z kroku 1, zostaje tylko zmienna $\mathsf{x}$
8. $\mathsf{W}(\mathsf{x})=6(\mathsf{x}-9)+2{\mathsf{x}}^2$
9. rozwijamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne
10. $\mathsf{W}(\mathsf{x})=\boxed{2x^2+6x-54}$
11. Krok 3. Wierzchołek paraboli
12. $\mathsf{a}=2,\mathsf{b}=6$
13. $\mathsf{a}>0$, ramiona paraboli skierowane w górę, więc najmniejsza wartość jest w wierzchołku
14. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=-\frac{6}{2\cdot 2}=-\frac{3}{2}$
15. drugą liczbę liczymy z zależności z kroku 1
16. $\boxed{x=-\frac{3}{2},y=-\frac{21}{2}}$
17. Krok 4. Wartość najmniejsza
18. $\mathsf{\Delta }=6^2-4\cdot 2\cdot (-54)=\boxed{468}$
19. wartość funkcji kwadratowej w wierzchołku to druga współrzędna wierzchołka
20. $\mathsf{W}=-\frac{468}{4\cdot 2}=\boxed{-\frac{117}{2}}$