Zbadaj parabolę z wierzchołka

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wzór z wierzchołka i punktu

1. Wierzchołek $(-3,0)$ i znak współczynnika $2$ wystarczają, żeby opisać całą funkcję $\mathsf{g}$: osią symetrii jest prosta $\mathsf{x}=-3$, zbiorem wartości przedział $[0,+\infty )$, a liczba miejsc zerowych wynosi $1$.
2. Krok 1. Współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$
3. wierzchołek leży na osi $\mathsf{OX}$, więc wyraz wolny postaci kanonicznej jest zerem
4. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\mathsf{a}(\mathsf{x}+5{)}^2$
5. podstawiamy współrzędne drugiego punktu, bo tylko one zawierają nieznany współczynnik
6. $\mathsf{a}\cdot 25=50$
7. dzielimy obie strony przez kwadrat odciętej wierzchołka
8. $\mathsf{a}=\boxed{2}$
9. Krok 2. Wzór $\mathsf{f}$ w trzech postaciach
10. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=2(\mathsf{x}+5{)}^2$
11. kwadrat nawiasu to iloczyn dwóch jednakowych czynników, czyli postać iloczynowa z pierwiastkiem podwójnym
12. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\boxed{2(x+5)(x+5)}$
13. wracamy do kwadratu i rozwijamy go wzorem skróconego mnożenia
14. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=2({\mathsf{x}}^2+10x+25)$
15. każdy wyraz w nawiasie mnożymy przez współczynnik stojący przed nim
16. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\boxed{2x^2+20x+50}$
17. Krok 3A. Monotoniczność $\mathsf{f}$
18. $\mathsf{a}=2\Rightarrow \text{ramiona w goˊrę}$
19. wierzchołek rozdziela przedział wzrostu od przedziału spadku
20. $\mathsf{f}\text{ jest malejąca w }\boxed{(-\infty ,-5]}$
21. Krok 3B. Wierzchołek $\mathsf{g}$
22. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=\mathsf{f}(\mathsf{x}-2)$
23. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=\mathsf{f}(\mathsf{x}-2)$
24. w definicji $\mathsf{g}$ podstawiamy wyznaczony wzór funkcji $\mathsf{f}$
25. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=2(\mathsf{x}+3{)}^2$
26. z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka
27. ${\mathsf{W}}_{\mathsf{g}}=\boxed{(-3,0)}$

Znak w nawiasie. Wierzchołek o odciętej $-5$ daje czynnik $(\mathsf{x}+5)$, a nie $(\mathsf{x}-5)$, bo w postaci kanonicznej odejmujemy współrzędną wierzchołka.

Wierzchołek leży na osi $\mathsf{OX}$, więc parabola dotyka tej osi w jednym punkcie. Postać iloczynowa ma wtedy dwa identyczne czynniki, a nie dwa różne.