Największy przychód hotelu przy podwyżce ceny

Rozwiązanie krok po kroku

Przychód to parabola w dół → maksimum w wierzchołku → przelicz na cenę

1. Klucz: przychód $\mathsf{P}(\mathsf{x})$ to parabola w dół (współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$ to $-5$), więc maksimum jest w wierzchołku. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}$ to LICZBA podwyżek, nie kwota - wzrost ceny to $5\cdot {\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}$, a cena docelowa to cena wyjściowa powiększona o ten wzrost.
2. Krok 1. Rozwiń $\mathsf{P}(\mathsf{x})$
3. współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$ ujemny → ramiona w dół
4. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=(150-\mathsf{x})(200+5\mathsf{x})$
5. przekształcamy iloczyn do postaci ogólnej $\mathsf{a}{\mathsf{x}}^2+\mathsf{bx}+\mathsf{c}$
6. $\mathsf{P}(\mathsf{x})=-5{\mathsf{x}}^2+550x+30000$
7. Krok 2 (a). Wierzchołek i wzrost ceny
8. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=-\frac{\mathsf{b}}{2a}$ - liczba podwyżek dla maksimum
9. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=\frac{-\mathsf{b}}{2a}=\frac{-(550)}{2\cdot (-5)}=\frac{550}{10}=\boxed{55}$
10. pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli - liczba podwyżek dająca największy przychód
11. $\text{wzrost ceny}=5\cdot {\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=5\cdot 55=\boxed{275}\text{ zł}$
12. każda podwyżka to $5$ zł, a jest ich ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=55$
13. Krok 3 (b). Cena docelowa
14. cena wyjściowa + wzrost
15. $\text{cena}=200+275=\boxed{475}\text{ zł}$
16. do ceny wyjściowej $200$ zł dodajemy wzrost $275$ zł

Najczęstsze pomyłki: (1) podanie ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}=55$ (liczby podwyżek) zamiast wzrostu ceny $275$ zł lub ceny docelowej $475$ zł; (2) pominięcie mnożenia przez $5$ - ${\mathsf{x}}_{\mathsf{w}}$ to liczba kroków, nie złotówki; (3) szukanie maksimum na brzegu przedziału zamiast w wierzchołku (parabola ma ramiona w DÓŁ, więc wierzchołek to maksimum).