Pole trójkąta o wierzchołkach na paraboli

Rozwiązanie krok po kroku

Postać kanoniczna → zera (A, B) i wierzchołek (C) → pole z podstawy na osi Ox

1. Klucz: $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ leżą na osi $\mathsf{Ox}$, więc bok $\mathsf{AB}$ jest podstawą trójkąta, a wysokością jest $|\mathsf{q}|$ - odległość wierzchołka od osi $\mathsf{Ox}$. Postać kanoniczna daje od razu i wierzchołek, i miejsca zerowe.
2. Krok 1. Postać kanoniczna
3. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\mathsf{a}(\mathsf{x}-\mathsf{p}{)}^2+\mathsf{q}$ - z niej czytamy wierzchołek $\mathsf{C}=(\mathsf{p},\mathsf{q})$
4. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=(\mathsf{x}-5{)}^2-36$
5. Krok 2. Miejsca zerowe $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$
6. rozwiązujemy $\mathsf{f}(\mathsf{x})=0$ z postaci kanonicznej
7. $(\mathsf{x}-5{)}^2-36=0$
8. przenosimy wyraz wolny na prawo i dzielimy przez współczynnik $\mathsf{a}$ - po prawej zostaje liczba dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania
9. $(\mathsf{x}-5{)}^2=36$
10. pierwiastkujemy obie strony - stąd znak $\pm$ dający dwa miejsca zerowe
11. $\mathsf{x}-5=\pm 6$
12. z dwóch znaków otrzymujemy dwa miejsca zerowe - to odcięte punktów $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$
13. ${\mathsf{x}}_1=\boxed{-1},{\mathsf{x}}_2=\boxed{11}$
14. Krok 3. Wierzchołek $\mathsf{C}$
15. współrzędne $(\mathsf{p},\mathsf{q})$ czytamy wprost z postaci kanonicznej
16. $\mathsf{C}=\boxed{\left(5,-36\right)}$
17. Krok 4. Pole trójkąta $\mathsf{ABC}$
18. podstawa $\mathsf{AB}$ na osi $\mathsf{Ox}$, wysokość = odległość $\mathsf{C}$ od osi $\mathsf{Ox}$
19. $|\mathsf{AB}|={\mathsf{x}}_2-{\mathsf{x}}_1=12,\mathsf{h}=|\mathsf{q}|=36$
20. długość podstawy to różnica miejsc zerowych, wysokość to odległość wierzchołka od osi $\mathsf{Ox}$
21. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 36$
22. wstawiamy podstawę i wysokość do wzoru na pole trójkąta
23. ${\mathsf{P}}_{△\mathsf{ABC}}=\boxed{216}$

Najczęstsze pomyłki: (1) przyjęcie jako wysokości wartości $\mathsf{q}$ ze znakiem zamiast $|\mathsf{q}|$ (pole jest dodatnie); (2) zła długość podstawy - pomylenie ${\mathsf{x}}_2-{\mathsf{x}}_1$ z sumą lub pojedynczym miejscem zerowym; (3) pominięcie czynnika $\frac{1}{2}$ we wzorze na pole trójkąta.