Wyznacz postać kanoniczną funkcji kwadratowej

Rozwiązanie krok po kroku

Klasycznie: od osi symetrii do postaci kanonicznej

1. Kontrola: wierzchołek $\mathsf{W}=(-4,75)$, a podstawienie $\mathsf{x}=1$ rzeczywiście daje $\mathsf{f}(1)=0$.
2. Krok 1. Oś symetrii → szkielet wzoru
3. $\mathsf{x}=-4$ to współrzędna wierzchołka
4. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\mathsf{a}(\mathsf{x}+4{)}^2+\mathsf{q}$
5. Krok 2. Miejsce zerowe → wyznacz $\mathsf{q}$
6. podstawiamy $\mathsf{x}=1$, bo $\mathsf{f}(1)=0$
7. $\mathsf{a}(1+4{)}^2+\mathsf{q}=0$
8. liczymy kwadrat różnicy w nawiasie
9. $25a+\mathsf{q}=0$
10. przenosimy wyraz z $\mathsf{a}$ na drugą stronę, by wyrazić $\mathsf{q}$ przez $\mathsf{a}$
11. $\mathsf{q}=-25\mathsf{a}$
12. Krok 3. Punkt na wykresie → wyznacz $\mathsf{a}$
13. podstawiamy $(-2,63)$, bo $\mathsf{f}(-2)=63$
14. $\mathsf{a}(-2+4{)}^2+\mathsf{q}=63$
15. liczymy kwadrat różnicy w nawiasie
16. $4a+-25a=63$
17. wstawiamy $\mathsf{q}$ wyznaczone w kroku 2 - zostaje jedno niewiadome $\mathsf{a}$
18. $-21a=63$
19. redukujemy wyrazy z $\mathsf{a}$ i dzielimy obie strony
20. $\mathsf{a}=\boxed{-3}$
21. Krok 4. Składamy postać kanoniczną
22. $\mathsf{a}=-3$, $\mathsf{q}=75$
23. $\boxed{\mathbf{f}(\mathbf{x})=-3(\mathbf{x}+4{)}^2+75}$

Najczęstsza pomyłka: znak w nawiasie. Oś $\mathsf{x}=-4$ daje $(\mathsf{x}+4)$ - przy ujemnym $\mathsf{p}$ w nawiasie pojawia się plus, a nie minus.