Postać kanoniczna, oś symetrii i miejsca zerowe po przesunięciu

Rozwiązanie krok po kroku

12.1 Postać kanoniczna: wyznacz $\mathsf{a}$ z punktu

1. Postać kanoniczna to $\mathsf{a}(\mathsf{x}-\mathsf{p}{)}^2+\mathsf{q}$, gdzie $(\mathsf{p},\mathsf{q})$ to wierzchołek - znaki w nawiasie i przy $\mathsf{q}$ biorą się wprost ze współrzędnych $(2,7)$, bez zmiany.
2. Krok 1. Szkielet z wierzchołka
3. współrzędne wierzchołka $(2,7)$ wstawiamy w postać $\mathsf{a}(\mathsf{x}-\mathsf{p}{)}^2+\mathsf{q}$
4. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\mathsf{a}(\mathsf{x}-2{)}^2+7$
5. Krok 2. Wyznacz $\mathsf{a}$ z punktu paraboli
6. parabola przechodzi przez $(-1,25)$
7. $25=\mathsf{a}(-1-(2){)}^2+7$
8. podstawiamy $\mathsf{x}=-1$ i $\mathsf{f}(\mathsf{x})=25$, liczymy $(-1-(2){)}^2=9$
9. $25=\mathsf{a}\cdot 9+7$
10. przenosimy wyraz wolny $\mathsf{q}=7$ na lewą stronę
11. $18=\mathsf{a}\cdot 9$
12. dzielimy przez współczynnik przy $\mathsf{a}$
13. $\mathsf{a}=\frac{18}{9}=\boxed{2}$
14. Krok 3. Złóż postać kanoniczną
15. wstawiamy $\mathsf{a}=2$, $\mathsf{p}=2$, $\mathsf{q}=7$
16. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\boxed{2(\mathbf{x}-2{)}^2+7}$

12.2 Oś symetrii: pionowa przez wierzchołek

1. Druga współrzędna wierzchołka ($\mathsf{q}=7$) to wysokość wierzchołka, NIE oś symetrii. Oś symetrii zawsze opisuje równanie $\mathsf{x}=\dots$, nigdy $\mathsf{y}=\dots$.
2. Oś symetrii = $\mathsf{x}$ wierzchołka
3. wierzchołek $(2,7)$ - bierzemy pierwszą współrzędną
4. $\mathsf{x}={\mathsf{x}}_{\mathsf{W}}=2$
5. oś symetrii jest pionowa, więc ma postać $\mathsf{x}=\text{const}$ - tą stałą jest $\mathsf{x}$-owa współrzędna wierzchołka
6. $\boxed{\mathbf{x}=2}$

12.3 Miejsca zerowe $\mathsf{g}$: $\mathsf{g}(\mathsf{x})=\mathsf{f}(\mathsf{x})-\mathsf{k}$

1. Miejsca zerowe $\mathsf{g}$ leżą symetrycznie wokół osi $\mathsf{x}=\mathsf{p}$ w odległości $\mathsf{d}$: ${\mathsf{x}}_{1,2}=\mathsf{p}\pm \mathsf{d}$. Dlatego ich suma to $2p$, średnia to $\mathsf{p}$, a iloczyn to ${\mathsf{p}}^2-{\mathsf{d}}^2$.
2. Krok 1. Postać kanoniczna $\mathsf{g}$
3. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=\mathsf{f}(\mathsf{x})-15$, więc od wyrazu wolnego $\mathsf{f}$ odejmujemy $\mathsf{k}$
4. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=2(\mathsf{x}-2{)}^2+7-(15)$
5. wyraz wolny $\mathsf{f}$ to $\mathsf{q}=7$; po odjęciu $\mathsf{k}=15$ zostaje $\mathsf{q}-\mathsf{k}=-8$
6. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=2(\mathsf{x}-2{)}^2-8$
7. Krok 2. Miejsca zerowe
8. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=0$, dzielimy przez $\mathsf{a}$ i korzystamy z $(\mathsf{x}-\mathsf{p}{)}^2={\mathsf{d}}^2$
9. $(\mathsf{x}-2{)}^2=2^2$
10. po podzieleniu przez $\mathsf{a}$ zostaje kwadrat równy ${\mathsf{d}}^2=2^2$
11. $\mathsf{x}-(2)=\pm 2$
12. pierwiastkujemy obie strony - stąd dwa rozwiązania $\mathsf{x}=2\pm 2$
13. ${\mathsf{x}}_1=\boxed{0},{\mathsf{x}}_2=\boxed{4}$
14. Krok 3. Policz szukaną wielkość
15. podstaw ${\mathsf{x}}_1=0$, ${\mathsf{x}}_2=4$
16. $\left|{\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2\right|=\left|(0)-(4)\right|$
17. wstawiamy oba miejsca zerowe i liczymy
18. $\left|{\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2\right|=\boxed{4}$

Najczęstsze błędy: (1) w postaci kanonicznej zła kolejność znaku - $(\mathsf{x}-\mathsf{p})$ dla wierzchołka o dodatnim $\mathsf{p}$, a nie $(\mathsf{x}+\mathsf{p})$; (2) podanie osi symetrii jako $\mathsf{y}=\mathsf{q}$ zamiast $\mathsf{x}=\mathsf{p}$; (3) w 12.3 mylenie sumy ($2p$) z iloczynem (${\mathsf{p}}^2-{\mathsf{d}}^2$) miejsc zerowych.

Skąd $\mathsf{d}$ w 12.3? Stała $\mathsf{k}=15$ to dokładnie wysokość, o jaką trzeba obniżyć parabolę, by wierzchołek dotknął osi $\mathsf{Ox}$ - a $\mathsf{a}\cdot {\mathsf{d}}^2=\mathsf{k}-\mathsf{q}$ wiąże $\mathsf{d}$ z parametrami. Miejsca zerowe są odległe od osi symetrii o $\mathsf{d}=2$.