Wzór iloczynowy z osi symetrii i miejsca zerowego

Rozwiązanie krok po kroku

Wzór iloczynowy: drugie miejsce zerowe z symetrii, potem $\mathsf{a}(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_1)(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_2)$

1. Klucz 14.1: drugie miejsce zerowe wynika z symetrii (${\mathsf{x}}_2=2s-{\mathsf{x}}_1$), a nie ze wzorów Viète'a bez znajomości $\mathsf{b},\mathsf{c}$. Znak w każdym nawiasie jest PRZECIWNY do znaku miejsca zerowego.
2. Krok 1. Drugie miejsce zerowe
3. oś $\mathsf{x}=-1$ leży w środku między ${\mathsf{x}}_1$ i ${\mathsf{x}}_2$
4. ${\mathsf{x}}_2=2s-{\mathsf{x}}_1=2\cdot -1-(-8)$
5. oś symetrii to średnia miejsc zerowych, więc ${\mathsf{x}}_2=2s-{\mathsf{x}}_1$
6. ${\mathsf{x}}_2=\boxed{6}$
7. Krok 2. Wzór iloczynowy
8. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\mathsf{a}(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_1)(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_2)$
9. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=2(\mathsf{x}-(-8))(\mathsf{x}-(6))$
10. wstawiamy oba miejsca zerowe i współczynnik $\mathsf{a}=2$ do wzoru iloczynowego
11. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\boxed{2(\mathbf{x}+8)(\mathbf{x}-6)}$

Oś symetrii $\mathsf{g}$: przesunięcie osi $\mathsf{f}$ o $\mathsf{k}$

1. Uwaga na kierunek: $\mathsf{f}(\mathsf{x}-\mathsf{k})$ przesuwa w PRAWO o $\mathsf{k}$ (znak przeciwny do tego w nawiasie). Oś $\mathsf{x}=\mathsf{s}$ przechodzi na $\mathsf{x}=\mathsf{s}+\mathsf{k}$ - do $\mathsf{s}$ dodajemy $\mathsf{k}$ z jego własnym znakiem.
2. Krok 1. Jak działa $\mathsf{f}(\mathsf{x}-\mathsf{k})$
3. $\mathsf{g}(\mathsf{x})=\mathsf{f}(\mathsf{x}-3)$
4. wykres $\mathsf{f}$ przesuwa się poziomo w prawo o 3 - cała parabola, wraz z osią symetrii
5. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{os}}=\mathsf{s}+\mathsf{k}$
6. Krok 2. Oś symetrii $\mathsf{g}$
7. $\mathsf{x}=-1+3=\boxed{2}$

Stwierdzenia: policz $\mathsf{b},\mathsf{c}$, wierzchołek, miejsca zerowe, $\mathsf{\Delta }$

1. Ramiona w górę gdy $\mathsf{a}>0$, w dół gdy $\mathsf{a}<0$. Parabola ma dwa różne miejsca zerowe ($\mathsf{\Delta }>0$). Przez początek układu przechodzi tylko, gdy $\mathsf{c}=0$ - a tu $\mathsf{c}$ jest zawsze niezerowe. Każde stwierdzenie sprawdzamy z policzonych wielkości.
2. Krok 1. Postać ogólna
3. wymnóż $\mathsf{a}(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_1)(\mathsf{x}-{\mathsf{x}}_2)$
4. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=2(\mathsf{x}+8)(\mathsf{x}-6)$
5. z postaci iloczynowej rozwijamy do $\mathsf{a}{\mathsf{x}}^2+\mathsf{bx}+\mathsf{c}$
6. $\mathsf{f}(\mathsf{x})=\boxed{2x^2+4x-96}$
7. Krok 2. Ocena stwierdzeń
8. $\mathsf{b}=4,\mathsf{c}=-96$
9. znaki $\mathsf{b},\mathsf{c}$ odczytujemy wprost - to podstawa stwierdzeń o współczynnikach
10. $\mathsf{W}=(-1,-98),\mathsf{\Delta }=784$
11. wierzchołek $(\mathsf{s},\mathsf{f}(\mathsf{s}))$; wyróżnik $\mathsf{\Delta }={\mathsf{b}}^2-4ac=4{\mathsf{a}}^2{\mathsf{d}}^2>0$
12. $\text{suma z.}=-2,\text{iloczyn z.}=-48,|{\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2|=14$
13. suma, iloczyn i odległość miejsc zerowych - do stwierdzeń o pierwiastkach
14. $\mathsf{a}=2\Rightarrow \boxed{\text{ramiona w goˊrę}}$

Najczęstsze pomyłki: (1) w 14.1 - wyznaczanie ${\mathsf{x}}_2$ ze wzorów Viète'a zamiast z symetrii (${\mathsf{x}}_2=2s-{\mathsf{x}}_1$); (2) błędny znak w nawiasie postaci iloczynowej (znak PRZECIWNY do miejsca zerowego); (3) w 14.3 - przesunięcie osi w złą stronę ($\mathsf{f}(\mathsf{x}-\mathsf{k})$ przesuwa w PRAWO); (4) w 14.2 - mylenie wierzchołka $(\mathsf{s},\mathsf{f}(\mathsf{s}))$ ze wzorem $\mathsf{\Delta }$.