Wyznacz parametr z trzech warunków

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: trzy warunki i ich część wspólna

1. Kolejność jest istotna: dopiero część wspólna wszystkich trzech zbiorów daje odpowiedź. Każdy warunek osobno dopuszcza wartości, które odpada na innym.
2. Krok 1. Współczynniki i warunki
3. Parametr stoi we wszystkich trzech współczynnikach trójmianu.
4. $\mathsf{a}=14-\mathsf{m},\mathsf{b}=-6(\mathsf{m}-6),\mathsf{c}=3m+6$
5. dokładnie dwa miejsca zerowe dają dodatni wyróżnik, a ten sam znak obu miejsc zerowych oznacza dodatni iloczyn
6. $\mathsf{\Delta }(\mathsf{m})>0\wedge {\mathsf{x}}_1\cdot {\mathsf{x}}_2>0\wedge ({\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2{)}^2\le 84$
7. Krok 2A. Warunek I
8. $\mathsf{\Delta }(\mathsf{m})>0$
9. $\mathsf{\Delta }={\mathsf{b}}^2-4ac$
10. wstawiamy współczynniki zależne od parametru
11. $\mathsf{\Delta }={\left[-6(\mathsf{m}-6)\right]}^2-4\left(14-\mathsf{m}\right)\left(3m+6\right)$
12. podnosimy dwumian do kwadratu i wymnażamy iloczyn, po redukcji zostaje trójmian zmiennej $\mathsf{m}$
13. $\mathsf{\Delta }(\mathsf{m})=48{\mathsf{m}}^2-576m+960$
14. pierwiastki tego trójmianu to $2$ oraz $10$
15. $\mathsf{\Delta }(\mathsf{m})=\boxed{48(m-2)(m-10)}$
16. współczynnik przy ${\mathsf{m}}^2$ jest dodatni, więc wartości dodatnie leżą poza pierwiastkami
17. $\mathsf{m}\in \boxed{(-\infty ,2)\cup (10,+\infty )}$
18. Krok 2B. Warunek II
19. ${\mathsf{x}}_1\cdot {\mathsf{x}}_2>0$
20. ${\mathsf{x}}_1\cdot {\mathsf{x}}_2=\frac{\mathsf{c}}{\mathsf{a}}=\frac{3(\mathsf{m}+2)}{14-\mathsf{m}}>0$
21. iloczyn miejsc zerowych jest dodatni dokładnie wtedy, gdy oba mają ten sam znak; mnożymy przez kwadrat mianownika, żeby zniknął ułamek, a kwadrat jest dodatni, więc zwrot zostaje
22. $3(\mathsf{m}+2)(14-\mathsf{m})>0$
23. po wymnożeniu współczynnik przy ${\mathsf{m}}^2$ jest ujemny, więc iloczyn jest dodatni między pierwiastkami
24. $\mathsf{m}\in \boxed{(-2,14)}$
25. Krok 3. Warunek III
26. $({\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2{)}^2\le 84$
27. $({\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2{)}^2=({\mathsf{x}}_1+{\mathsf{x}}_2{)}^2-4{\mathsf{x}}_1{\mathsf{x}}_2=\frac{{\mathsf{b}}^2}{{\mathsf{a}}^2}-\frac{4c}{\mathsf{a}}$
28. sumę i iloczyn miejsc zerowych zapisujemy przez współczynniki wzorami Viète'a
29. $({\mathsf{x}}_1-{\mathsf{x}}_2{)}^2=\frac{{\mathsf{b}}^2-4ac}{{\mathsf{a}}^2}=\frac{\mathsf{\Delta }}{{\mathsf{a}}^2}$
30. w liczniku stoi wyróżnik policzony w warunku I
31. $\frac{48(\mathsf{m}-2)(\mathsf{m}-10)}{(14-\mathsf{m}{)}^2}\le 84$
32. mianownik jest kwadratem, więc dodatni; zwrot nierówności zostaje bez zmian
33. $48(\mathsf{m}-2)(\mathsf{m}-10)\le 84(14-\mathsf{m}{)}^2$
34. po uporządkowaniu i skróceniu przez wspólny dzielnik $12$ zostaje nierówność kwadratowa
35. $3{\mathsf{m}}^2-148m+1292\ge 0$
36. wyróżnik tej nierówności jest kwadratem liczby całkowitej, więc końce przedziałów wychodzą wymierne
37. $\mathsf{m}\in \boxed{(-\infty ,\frac{34}{3}⟩\cup ⟨38,+\infty )}$
38. Krok 4. Część wspólna
39. $\left[(-\infty ,2)\cup (10,+\infty )\right]\cap (-2,14)$
40. przedział z warunku II obcina obie półproste z warunku I
41. $(-2,2)\cup (10,14)$
42. lewy przedział mieści się w całości poniżej $\frac{34}{3}$, prawy zostaje przycięty do tej wartości
43. $\mathsf{m}\in \boxed{(-2,2)\cup (10,\frac{34}{3}⟩}$

Pominięcie warunku <strong>$\mathsf{\Delta }>0$</strong>. Sam dodatni iloczyn ${\mathsf{x}}_1\cdot {\mathsf{x}}_2$ nie gwarantuje, że miejsca zerowe w ogóle istnieją.<br><br>Druga częsta pomyłka: mnożenie nierówności $\frac{\mathsf{\Delta }}{{\mathsf{a}}^2}\le 84$ przez $(14-\mathsf{m})$ zamiast przez $(14-\mathsf{m}{)}^2$. Pierwszy czynnik zmienia znak, więc zwrot nierówności zależałby wtedy od wartości parametru.

Wartość $\mathsf{m}=14$ jest wykluczona już w treści, bo wtedy współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$ znika i funkcja przestaje być kwadratowa. W odpowiedzi nie trzeba jej osobno usuwać: leży poza przedziałem $(10,\frac{34}{3}⟩$.