Wyznacz m z sumy kwadratów

Rozwiązanie krok po kroku

Dziedzina, wzory Viète'a i wielomian trzeciego stopnia

1. Równanie i warunek
2. $(\mathsf{m}+1)\cdot {\mathsf{x}}^2+(\mathsf{m}-2)\cdot \mathsf{x}-(\mathsf{m}-2{)}^2=0,{\mathsf{x}}_1^2+{\mathsf{x}}_2^2=2{\mathsf{x}}_1\cdot {\mathsf{x}}_2+20$
3. Kiedy są dwa rozwiązania
4. $\mathsf{\Delta }=(\mathsf{m}-2{)}^2+4(\mathsf{m}-2{)}^2(\mathsf{m}+1)$
5. Oba składniki delty zawierają ten sam kwadrat.
6. $\mathsf{\Delta }=(\mathsf{m}-2{)}^2(4m+5)>0$
7. Kwadrat jest dodatni dla $\mathsf{m}$ różnego od $2$, więc o znaku delty decyduje nawias.
8. $4m+5>0,\mathsf{m}\ne 2$
9. Przenosimy wyraz z $\mathsf{m}$ na jedną stronę i dzielimy przez jego współczynnik.
10. $\mathsf{m}>-\frac{5}{4},\mathsf{m}\ne 2$
11. Dla $\mathsf{m}=-1$ współczynnik przy ${\mathsf{x}}^2$ jest zerem i równanie przestaje być kwadratowe.
12. $\mathsf{D}=\boxed{(-\frac{5}{4},-1)\cup (-1,2)\cup (2,\infty )}$
13. Warunek jako równanie z $\mathsf{m}$
14. ${\mathsf{x}}_1^2+{\mathsf{x}}_2^2=2{\mathsf{x}}_1{\mathsf{x}}_2+20$
15. Warunek zapisujemy przez sumę i iloczyn pierwiastków.
16. $({\mathsf{x}}_1+{\mathsf{x}}_2{)}^2-4{\mathsf{x}}_1{\mathsf{x}}_2=20$
17. Podstawiamy wzory Viète'a.
18. ${\left(\frac{-(\mathsf{m}-2)}{\mathsf{m}+1}\right)}^2-4\cdot \frac{-(\mathsf{m}-2{)}^2}{\mathsf{m}+1}=20$
19. Mnożymy obie strony przez kwadrat mianownika, który jest dodatni.
20. $(\mathsf{m}-2{)}^2+4(\mathsf{m}-2{)}^2(\mathsf{m}+1)=20(\mathsf{m}+1{)}^2$
21. Przenosimy wszystko na jedną stronę i porządkujemy.
22. $4{\mathsf{m}}^3-31{\mathsf{m}}^2-44m=0$
23. Liczba $0$ jest pierwiastkiem, więc dzielimy wielomian przez $\mathsf{m}$ (schemat Hornera).
24. $\mathsf{m}(4{\mathsf{m}}^2-31m-44)=0$
25. Pozostałe pierwiastki to miejsca zerowe trójmianu w nawiasie.
26. $\mathsf{m}\in \boxed{\left\{\frac{31-3\sqrt{185}}{8},0,\frac{31+3\sqrt{185}}{8}\right\}}$
27. Kandydaci w zbiorze $\mathsf{D}$
28. $\frac{31-3\sqrt{185}}{8}\approx -1,2256\in \mathsf{D}$
29. Porównujemy przybliżenie kandydata z końcem przedziału w zbiorze $\mathsf{D}$.
30. $0\in \mathsf{D}$
31. Pierwiastek wymierny także sprawdzamy w zbiorze $\mathsf{D}$.
32. $\frac{31+3\sqrt{185}}{8}\approx 8,9756\in \mathsf{D}$
33. Zostają tylko kandydaci należący do $\mathsf{D}$.
34. $\mathsf{m}\in \boxed{\left\{\frac{31-3\sqrt{185}}{8},0,\frac{31+3\sqrt{185}}{8}\right\}}$

Przyjęcie wszystkich pierwiastków wielomianu bez sprawdzenia, czy należą do zbioru $\mathsf{D}$. Taki kandydat spełnia równanie z $\mathsf{m}$, ale dla niego równanie kwadratowe nie ma wymaganych rozwiązań ${\mathsf{x}}_1$, ${\mathsf{x}}_2$.