Najmniejsze pole trójkąta wpisanego w kwadrat

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AB| = 8 oraz |AD| = 5 . Rozważamy wszystkie trójkąty DEF , w których punkt E leży na boku AB , a punkt F leży na boku BC , przy czym |CF| = x oraz |EB| = 2x , gdzie x (0, 4) . Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Pole jako różnica i wierzchołek paraboli

  1. Tę samą funkcję można zapisać w postaci kanonicznej P(x) = (x - 2)^2 + 16 , gdzie wierzchołek ma współrzędne (2, 16) . Dla kwadratu a = b .
  2. Dane i oznaczenia
  3. |CF| = x oraz |EB| = 2x , x (0, 4) (rysunek w treści zadania)
  4. P(x) = pole DEF
  5. Pole jako różnica
  6. P(x) = 40 - S_ ADE - S_ DCF - S_ EBF
  7. pole figury ABCD bez trzech trójkątów prostokątnych w narożach A , C , B
  8. P(x) = 2 2 x^2 - 8 2 x + 40 2
  9. przyprostokątne narożników wyrażamy przez x ; składniki liniowe od |EB| i |CF| częściowo się znoszą
  10. P(x) = x^2 - 4x + 20
  11. Wierzchołek: x minimalizujące pole
  12. ramiona w górę ( a>0 ), więc wierzchołek daje minimum
  13. x_w = 4 2 1
  14. pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli a_2x^2 - a_1x + a_0
  15. x_w = 4 2 = 2
  16. Najmniejsze pole
  17. P_ min = 1 2 ^2 - 4 2 + 20
  18. wstawiamy x_w do wzoru funkcji P
  19. P_ min = 16

Najczęstsza pomyłka: użycie wzoru x_w = -b a bez podzielenia przez 2a , co podwaja wynik, albo podanie wartości pola P_ min w miejsce szukanego x .

Współczynnik przy x^2 jest dodatni, więc parabola ma minimum w wierzchołku, a wartość x_w zawsze leży wewnątrz przedziału (0, 4) .