Znajdź największe pole bryły
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 5 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 56 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni bocznej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, dla którego pole powierzchni bocznej jest największe.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: wzór pola i wierzchołek paraboli
- Wierzchołek leży wewnątrz przedziału ≤ft(0, 7/3), więc obliczona wartość jest długością krawędzi rzeczywistego prostopadłościanu.
- Krok 1. Trzecia krawędź
- Prostopadłościan ma po cztery krawędzie każdej z trzech długości.
- 4x + 4 · 5x + 4|AD| = 56
- suma dwunastu krawędzi to poczwórna suma trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka
- x + 5x + |AD| = 14
- obie znane krawędzie wyrażają się przez x
- 6x + |AD| = 14
- po lewej stronie zostaje szukana krawędź
- |AD| = 14 - 6x
- Krok 2A. Dziedzina
- każda krawędź ma dodatnią długość
- 14 - 6x > 0
- trzecia krawędź istnieje tylko wtedy, gdy jej długość jest dodatnia
- 6x < 14
- dzielimy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje
- 0 < x < #E53A3A 7/3
- x jest długością krawędzi, więc od lewej ogranicza je zero
- D = ≤ft(0, 7/3)
- Krok 2B. Wzór funkcji P
- sumujemy pola ścian
- P = 2 · |AE| · ≤ft(|AB| + |AD|)
- w miejsce krawędzi wstawiamy wyrażenia zależne od x
- P(x) = 2 · 5x · ≤ft(x + (14 - 6x))
- po wymnożeniu nawiasów zostaje trójmian bez wyrazu wolnego
- P(x) = -50x^2 + 140x
- Krok 3. Największa wartość
- współczynnik przy x^2 jest ujemny, więc ramiona paraboli idą w dół
- a = -50, b = 140
- największa wartość funkcji kwadratowej wypada w wierzchołku
- x_w = -140 2 · ≤ft(-50)
- minusy w liczniku i mianowniku się znoszą
- x = 7 5
Oś symetrii między miejscami zerowymi
- Krok 1. Miejsca zerowe
- P(x) = -50x^2 + 140x
- trójmian bez wyrazu wolnego rozkłada się na czynniki od razu
- P(x) = x≤ft(140 - 50x)
- iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników
- x_1 = 0, x_2 = 14 5
- Krok 2. Wierzchołek w połowie
- x_w = x_1 + x_2 2
- parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez wierzchołek
- x = 7 5
Pominięcie warunku, że trzecia krawędź musi być dodatnia. Bez niego dziedziną wychodzi cały przedział liczb dodatnich zamiast ≤ft(0, 7/3), a wzór funkcji opisuje bryłę, która nie istnieje.
Wynik x = 7 5 nie musi być liczbą całkowitą, bo współczynniki wzoru P zależą od proporcji krawędzi. Warunkiem poprawności jest to, że wierzchołek leży wewnątrz dziedziny.