Zbadaj parabolę z wierzchołka
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (-5, 0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0, 50). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x) = f(x - 2).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: wzór z wierzchołka i punktu
- Wierzchołek (-3, 0) i znak współczynnika 2 wystarczają, żeby opisać całą funkcję g: osią symetrii jest prosta x = -3, zbiorem wartości przedział [0, +∞), a liczba miejsc zerowych wynosi 1.
- Krok 1. Współczynnik przy x^2
- wierzchołek leży na osi OX, więc wyraz wolny postaci kanonicznej jest zerem
- f(x) = a(x + 5)^2
- podstawiamy współrzędne drugiego punktu, bo tylko one zawierają nieznany współczynnik
- a · 25 = 50
- dzielimy obie strony przez kwadrat odciętej wierzchołka
- a = 2
- Krok 2. Wzór f w trzech postaciach
- f(x) = 2(x + 5)^2
- kwadrat nawiasu to iloczyn dwóch jednakowych czynników, czyli postać iloczynowa z pierwiastkiem podwójnym
- f(x) = 2(x + 5)(x + 5)
- wracamy do kwadratu i rozwijamy go wzorem skróconego mnożenia
- f(x) = 2 (x^2 + 10x + 25)
- każdy wyraz w nawiasie mnożymy przez współczynnik stojący przed nim
- f(x) = 2x^2 + 20x + 50
- Krok 3A. Monotoniczność f
- a = 2 ramiona w górę
- wierzchołek rozdziela przedział wzrostu od przedziału spadku
- f jest malejąca w (-∞, -5]
- Krok 3B. Wierzchołek g
- g(x) = f(x - 2)
- g(x) = f(x - 2)
- w definicji g podstawiamy wyznaczony wzór funkcji f
- g(x) = 2(x + 3)^2
- z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka
- W_g = (-3, 0)
Znak w nawiasie. Wierzchołek o odciętej -5 daje czynnik (x + 5), a nie (x - 5), bo w postaci kanonicznej odejmujemy współrzędną wierzchołka.
Wierzchołek leży na osi OX, więc parabola dotyka tej osi w jednym punkcie. Postać iloczynowa ma wtedy dwa identyczne czynniki, a nie dwa różne.