Największy przychód hotelu przy podwyżce ceny

Właściciel pensjonatu ma do dyspozycji gości 150 pokoi jednoosobowych. Właściciel obiektu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: - przy wyjściowej cenie wynoszącej 200 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte; - każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1. Przyjmijmy, że dobowy przychód P obiektu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5x złotych, opisuje funkcja P(x) = (150 - x)(200 + 5x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x 0 i x 150 . **Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód obiektu z wynajmowania pokoi był największy.**

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Przychód to parabola w dół → maksimum w wierzchołku → przelicz na cenę

  1. Klucz: przychód P(x) to parabola w dół (współczynnik przy x^2 to -5 ), więc maksimum jest w wierzchołku. x_w to LICZBA podwyżek, nie kwota - wzrost ceny to 5 x_w , a cena docelowa to cena wyjściowa powiększona o ten wzrost.
  2. Krok 1. Rozwiń P(x)
  3. współczynnik przy x^2 ujemny → ramiona w dół
  4. P(x) = (150 - x)(200 + 5x)
  5. przekształcamy iloczyn do postaci ogólnej ax^2+bx+c
  6. P(x) = -5 x^2 + 550x + 30000
  7. Krok 2 (a). Wierzchołek i wzrost ceny
  8. x_w = - b 2a - liczba podwyżek dla maksimum
  9. x_w = -b 2a = -(550) 2 (-5) = 550 10 = 55
  10. pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli - liczba podwyżek dająca największy przychód
  11. wzrost ceny = 5 x_w = 5 55 = 275 zł
  12. każda podwyżka to 5 zł, a jest ich x_w = 55
  13. Krok 3 (b). Cena docelowa
  14. cena wyjściowa + wzrost
  15. cena = 200 + 275 = 475 zł
  16. do ceny wyjściowej 200 zł dodajemy wzrost 275 zł

Najczęstsze pomyłki: (1) podanie x_w = 55 (liczby podwyżek) zamiast wzrostu ceny 275 zł lub ceny docelowej 475 zł; (2) pominięcie mnożenia przez 5 - x_w to liczba kroków, nie złotówki; (3) szukanie maksimum na brzegu przedziału zamiast w wierzchołku (parabola ma ramiona w DÓŁ, więc wierzchołek to maksimum).