Postać kanoniczna, oś symetrii i miejsca zerowe po przesunięciu

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (2, 7) . Parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (-1, 25) .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

12.1 Postać kanoniczna: wyznacz a z punktu

  1. Postać kanoniczna to a(x-p)^2+q , gdzie (p,q) to wierzchołek - znaki w nawiasie i przy q biorą się wprost ze współrzędnych (2, 7) , bez zmiany.
  2. Krok 1. Szkielet z wierzchołka
  3. współrzędne wierzchołka (2, 7) wstawiamy w postać a(x-p)^2+q
  4. f(x) = a(x - #E53A3A 2 )^2 + #E53A3A 7
  5. Krok 2. Wyznacz a z punktu paraboli
  6. parabola przechodzi przez (-1, 25)
  7. #E53A3A 25 = a(-1 - (2))^2 +7
  8. podstawiamy x = -1 i f(x) = 25 , liczymy (-1 - (2))^2 = 9
  9. 25 = a 9 +7
  10. przenosimy wyraz wolny q = 7 na lewą stronę
  11. 18 = a 9
  12. dzielimy przez współczynnik przy a
  13. a = 18 9 = 2
  14. Krok 3. Złóż postać kanoniczną
  15. wstawiamy a = 2 , p = 2 , q = 7
  16. f(x) = 2(x-2)^2+7

12.2 Oś symetrii: pionowa przez wierzchołek

  1. Druga współrzędna wierzchołka ( q = 7 ) to wysokość wierzchołka, NIE oś symetrii. Oś symetrii zawsze opisuje równanie x = , nigdy y = .
  2. Oś symetrii = x wierzchołka
  3. wierzchołek (2, 7) - bierzemy pierwszą współrzędną
  4. x = x_W = #E53A3A 2
  5. oś symetrii jest pionowa, więc ma postać x = const - tą stałą jest x -owa współrzędna wierzchołka
  6. x = 2

12.3 Miejsca zerowe g : g(x)=f(x)-k

  1. Miejsca zerowe g leżą symetrycznie wokół osi x = p w odległości d : x_ 1,2 = p d . Dlatego ich suma to 2p , średnia to p , a iloczyn to p^2 - d^2 .
  2. Krok 1. Postać kanoniczna g
  3. g(x) = f(x) - 15 , więc od wyrazu wolnego f odejmujemy k
  4. g(x) = 2(x - 2)^2 +7 - (15)
  5. wyraz wolny f to q = 7 ; po odjęciu k = 15 zostaje q - k = -8
  6. g(x) = 2(x - 2)^2 - 8
  7. Krok 2. Miejsca zerowe
  8. g(x) = 0 , dzielimy przez a i korzystamy z (x-p)^2 = d^2
  9. (x - 2)^2 = 2^2
  10. po podzieleniu przez a zostaje kwadrat równy d^2 = 2^2
  11. x - (2) = 2
  12. pierwiastkujemy obie strony - stąd dwa rozwiązania x = 2 2
  13. x_1 = 0 , x_2 = 4
  14. Krok 3. Policz szukaną wielkość
  15. podstaw x_1 = 0 , x_2 = 4
  16. |x_1 - x_2 | = |(0) - (4) |
  17. wstawiamy oba miejsca zerowe i liczymy
  18. |x_1 - x_2 | = 4

Najczęstsze błędy: (1) w postaci kanonicznej zła kolejność znaku - (x-p) dla wierzchołka o dodatnim p , a nie (x+p) ; (2) podanie osi symetrii jako y = q zamiast x = p ; (3) w 12.3 mylenie sumy ( 2p ) z iloczynem ( p^2-d^2 ) miejsc zerowych.

Skąd d w 12.3? Stała k = 15 to dokładnie wysokość, o jaką trzeba obniżyć parabolę, by wierzchołek dotknął osi Ox - a a d^2 = k - q wiąże d z parametrami. Miejsca zerowe są odległe od osi symetrii o d = 2 .