Wyznacz parametr z trzech warunków

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (14 - m)x^2 - 6(m - 6)x + 3m + 6 dla każdej liczby rzeczywistej x , gdzie m jest liczbą rzeczywistą różną od 14 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe x_1 oraz x_2 tego samego znaku, które spełniają warunek (x_1 - x_2)^2 84

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: trzy warunki i ich część wspólna

  1. Kolejność jest istotna: dopiero część wspólna wszystkich trzech zbiorów daje odpowiedź. Każdy warunek osobno dopuszcza wartości, które odpada na innym.
  2. Krok 1. Współczynniki i warunki
  3. Parametr stoi we wszystkich trzech współczynnikach trójmianu.
  4. a = 14 - m, b = -6(m - 6), c = 3m + 6
  5. dokładnie dwa miejsca zerowe dają dodatni wyróżnik, a ten sam znak obu miejsc zerowych oznacza dodatni iloczyn
  6. (m) > 0 x_1 x_2 > 0 (x_1 - x_2)^2 84
  7. Krok 2A. Warunek I
  8. (m) > 0
  9. = b^2 - 4ac
  10. wstawiamy współczynniki zależne od parametru
  11. = [ -6(m - 6) ]^2 - 4 ( 14 - m ) ( 3m + 6 )
  12. podnosimy dwumian do kwadratu i wymnażamy iloczyn, po redukcji zostaje trójmian zmiennej m
  13. (m) = 48m^2 - 576m + 960
  14. pierwiastki tego trójmianu to 2 oraz 10
  15. (m) = 48(m - 2)(m - 10)
  16. współczynnik przy m^2 jest dodatni, więc wartości dodatnie leżą poza pierwiastkami
  17. m (- , 2) (10, + )
  18. Krok 2B. Warunek II
  19. x_1 x_2 > 0
  20. x_1 x_2 = c a = 3(m + 2) 14 - m > 0
  21. iloczyn miejsc zerowych jest dodatni dokładnie wtedy, gdy oba mają ten sam znak; mnożymy przez kwadrat mianownika, żeby zniknął ułamek, a kwadrat jest dodatni, więc zwrot zostaje
  22. 3(m + 2)(14 - m) > 0
  23. po wymnożeniu współczynnik przy m^2 jest ujemny, więc iloczyn jest dodatni między pierwiastkami
  24. m (-2, 14)
  25. Krok 3. Warunek III
  26. (x_1 - x_2)^2 84
  27. (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = b^2 a^2 - 4c a
  28. sumę i iloczyn miejsc zerowych zapisujemy przez współczynniki wzorami Viète'a
  29. (x_1 - x_2)^2 = b^2 - 4ac a^2 = a^2
  30. w liczniku stoi wyróżnik policzony w warunku I
  31. 48(m - 2)(m - 10) (14 - m)^2 84
  32. mianownik jest kwadratem, więc dodatni; zwrot nierówności zostaje bez zmian
  33. 48(m - 2)(m - 10) 84(14 - m)^2
  34. po uporządkowaniu i skróceniu przez wspólny dzielnik 12 zostaje nierówność kwadratowa
  35. 3m^2 - 148m + 1292 0
  36. wyróżnik tej nierówności jest kwadratem liczby całkowitej, więc końce przedziałów wychodzą wymierne
  37. m (- , 34 3 38, + )
  38. Krok 4. Część wspólna
  39. [ (- , 2) (10, + ) ] (-2, 14)
  40. przedział z warunku II obcina obie półproste z warunku I
  41. (-2, 2) (10, 14)
  42. lewy przedział mieści się w całości poniżej 34 3 , prawy zostaje przycięty do tej wartości
  43. m (-2, 2) (10, 34 3

Pominięcie warunku > 0 . Sam dodatni iloczyn x_1 x_2 nie gwarantuje, że miejsca zerowe w ogóle istnieją. Druga częsta pomyłka: mnożenie nierówności a^2 84 przez (14 - m) zamiast przez (14 - m)^2 . Pierwszy czynnik zmienia znak, więc zwrot nierówności zależałby wtedy od wartości parametru.

Wartość m = 14 jest wykluczona już w treści, bo wtedy współczynnik przy x^2 znika i funkcja przestaje być kwadratowa. W odpowiedzi nie trzeba jej osobno usuwać: leży poza przedziałem (10, 34 3 .