Wyznacz parametr ze wzorów Viète'a

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x^2 + (m + 1)x + 2m - 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 , x_2 spełniające warunek m (x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 ) = (2m - 8) (x_1 + x_2 ) - 6 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Wzory Viète'a i rozkład wielomianu

  1. Wyróżnik
  2. x^2 + (m + 1)x + 2m - 2 = 0
  3. = (m + 1 )^2 - 4 (2m - 2 )
  4. wyróżnik tego równania jest kwadratem zupełnym
  5. = ( m - 3 )^2
  6. kwadrat jest dodatni dokładnie wtedy, gdy jego podstawa jest różna od zera
  7. m `≠ 3
  8. Wzory Viète'a
  9. x_1 + x_2 = -m - 1 , x_1x_2 = 2m - 2
  10. suma pierwiastków to współczynnik przy x ze zmienionym znakiem, iloczyn to wyraz wolny
  11. (x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 ) = (-m - 1 )^2 - 3 (2m - 2 )
  12. podnosimy sumę do kwadratu i redukujemy wyrazy podobne
  13. (x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 ) = m^2 - 4m + 7
  14. Warunek z treści
  15. m (m^2 - 4m + 7 ) = (2m - 8) (-m - 1 ) - 6
  16. przenosimy wszystko na lewą stronę i redukujemy wyrazy podobne
  17. m^3 - 2m^2 + m - 2 = 0
  18. Rozkład na czynniki
  19. pierwiastka szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego
  20. (m - 2 ) ( m^2 + 1 ) = 0
  21. drugi czynnik nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc zeruje się tylko pierwszy
  22. m = 2

Rozwiązanie równania wielomianowego to jeszcze nie odpowiedź. Otrzymaną wartość parametru trzeba skonfrontować z warunkiem > 0 .