Wzory Viète'a i nierówność z potęgami pierwiastków

Wyznacz wszystkie wartości parametru k , dla których równanie x^2 + kx + k = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2 spełniające warunek x_1^2 + x_2^2 + 2 x_1 x_2 9.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wzory Viète'a i nierówność

  1. Krok 1. Dwa różne pierwiastki
  2. warunek > 0
  3. = ( k )^2 - 4 ( k ) > 0
  4. równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dokładnie wtedy, gdy delta jest dodatnia
  5. k^2 - 4k > 0
  6. wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
  7. k ( k - 4 ) > 0
  8. parabola z ramionami w górę przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz miejsc zerowych
  9. k (- ; 0) (4; + )
  10. Krok 2. Wzory Viète'a
  11. x_1 + x_2 = -k, x_1 x_2 = k
  12. sumę kwadratów pierwiastków wyrażamy przez ich sumę i iloczyn
  13. x_1^2 + x_2^2 = ( -k )^2 - 2 ( k )
  14. podstawiamy wzory Viète'a i redukujemy
  15. x_1^2 + x_2^2 = k^2 - 2k
  16. Krok 3. Warunek jako nierówność parametru
  17. x_1^2 + x_2^2 + 2 x_1 x_2 9
  18. lewa strona to rozwinięty kwadrat sumy pierwiastków
  19. ( x_1 + x_2 )^2 9
  20. wstawiamy sumę pierwiastków z kroku 2
  21. ( -k )^2 9
  22. kwadrat znosi znak minus
  23. k^2 9
  24. Krok 4. Rozwiązanie nierówności
  25. k^2 9
  26. nierówność kwadratowa - porównujemy wartość bezwzględną parametru z pierwiastkiem progu
  27. -3 k 3
  28. Krok 5. Część wspólna
  29. przecięcie z warunkiem > 0
  30. k (- ; 0) (4; + )
  31. rozwiązanie nierówności z kroku 4 przecinamy z warunkiem istnienia dwóch różnych pierwiastków
  32. k [-3; 0)