Wyznacz parametr z różnicy pierwiastków
Funkcja kwadratowa f zmiennej rzeczywistej x jest określona wzorem f(x) = x^2 - 4x + m^2 - 22. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe x_1, x_2 spełniające warunek (x_1 - x_2)^2 ≥ 100.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Postać kanoniczna wyróżnika
- Krańce pochodzące z warunku > 0 zostają wyłączone, bo tam funkcja ma jedno miejsce zerowe.
- Wyróżnik jako funkcja parametru
- f(x) = x^2 - 4x + m^2 - 22
- współczynniki trójmianu względem x to a = 1, b = -4 oraz c = m^2 - 22
- = 16 - 4≤ft(m^2 - 22)
- po opuszczeniu nawiasu i redukcji wyrazów podobnych zostaje trójmian zmiennej m
- = -4m^2 + 104
- wyrazy z m zwijamy do kwadratu różnicy, dzięki czemu obie nierówności zadania będą miały tę samą lewą stronę
- = 4≤ft[26 - m^2 ]
- Dwa różne miejsca zerowe
- > 0
- 4≤ft[26 - m^2 ] > 0
- dzielimy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje, a wyraz wolny przenosimy na prawą stronę
- m^2 < 26
- obie strony są nieujemne, więc pierwiastkowanie zachowuje kierunek nierówności
- ≤ft| m | < √(26)
- moduł rozbijamy na dwa przypadki i zapisujemy wynik jako zbiór na osi
- m (-√(26), √(26))
- Warunek z treści
- (x_1 - x_2)^2 ≥ 100
- (x_1 - x_2)^2 ≥ 100
- ze wzorów Viète'a ≤ft| x_1 - x_2 | = √(), więc badane wyrażenie to sam wyróżnik
- ≥ 100
- podstawiamy postać kanoniczną wyróżnika i dzielimy obie strony przez 4
- m^2 ≤ 1
- obie strony są nieujemne, więc pierwiastkowanie zachowuje kierunek nierówności
- ≤ft| m | ≤ 1
- moduł rozbijamy na dwa przypadki i zapisujemy wynik jako zbiór na osi
- m -1, 1
- Część wspólna obu warunków
- m (-√(26), √(26)) oraz m -1, 1
- parametr musi spełniać oba warunki naraz, więc bierzemy wspólną część zbiorów
- m -1, 1
Najczęstsza pomyłka: rozwiązanie samej nierówności z treści, bez warunku > 0. Do zbioru trafiają wtedy wartości parametru, dla których funkcja nie ma dwóch różnych miejsc zerowych.