Parametr, dla którego pierwiastki leżą w przedziale

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru t , gdzie t `≠ 0 , dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = -t^2x^2 + 2tx + 8t - 1 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-6, 6) .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunki na pierwiastki w przedziale

  1. Klucz to komplet czterech warunków ( >0 , znak na obu końcach, wierzchołek wewnątrz) - pominięcie któregokolwiek daje za szeroki lub za wąski zbiór parametru.
  2. Krok 1. Współczynniki trójmianu
  3. Ze wzoru odczytujemy współczynniki przy x^2 , przy x oraz wyraz wolny.
  4. aligned f(x) &= -t^2x^2 + 2tx + 8t - 1 [2pt] & przy x^2: -t^2 , przy x: 2t , wolny: 8t - 1 aligned
  5. Krok 2. Wyróżnik
  6. = b^2 - 4ac
  7. wstawiamy odczytane współczynniki
  8. = (2t)^2 - 4 (-t^2) (8t - 1)
  9. składnik b^2 skraca się z częścią -4ac , zostaje wyraz z t^3
  10. = 32t^3
  11. Krok 3. Wierzchołek i komplet warunków
  12. Współrzędna wierzchołka x_w = - b 2a .
  13. x_w = - b 2a = #E53A3A - 2t 2 (-t^2)
  14. po skróceniu t zostaje odwrotność parametru
  15. x_w = 1 t
  16. oba różne pierwiastki są w (-6, 6) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą wszystkie cztery warunki jednocześnie
  17. > 0 ; ; f(-6) < 0 ; ; f(6) < 0 ; ; -6 < x_w < 6
  18. Krok 4. Znak f(6)
  19. Warunek na prawym końcu rozstrzyga nierówność - liczymy f(6) i rozkładamy.
  20. f(6) = -t^2 36 + 2t 6 + 8t - 1
  21. grupujemy wyrazy: kwadratowy, liniowy i wolny
  22. f(6) = -36t^2 + 20t - 1
  23. trójmian względem t zapisujemy jako iloczyn dwóch czynników liniowych
  24. f(6) = -(2t - 1)(18t - 1)
  25. Krok 5. Część wspólna warunków
  26. >0 i wierzchołek są spełnione dla t>0 ; o granicy decyduje znak f(6) .
  27. f(6) < 0 (2t - 1)(18t - 1) > 0 ; ; t > 1 2
  28. iloczyn czynników jest dodatni powyżej większego pierwiastka; razem z pozostałymi warunkami daje półprostą
  29. t ( 1 2 , + )

Sprawdzenie tylko >0 i f(6) < 0 , bez warunku na drugim końcu i bez położenia wierzchołka. Pierwiastki mogą wtedy wpaść poza przedział (-6, 6) .

Znaki funkcji na końcach zależą od kierunku ramion: dla ramion w górę żądamy f( 6) > 0 , dla ramion w dół f( 6) < 0 (czyli a f( 6) > 0 ).