Równanie z tg α i sin/cos α (wartość trygonometryczna)

Rozwiązanie krok po kroku

Sprowadź równanie do jednej funkcji → rozpoznaj kąt → odczytaj szukaną wartość

1. Sedno: tożsamość $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ zamienia równanie w wartość jednej funkcji. Założenie o kącie ostrym pozwala dzielić przez $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$ (są dodatnie) oraz daje jednoznaczny kąt szczególny.
2. Krok 1. Dane
3. $\alpha$ - kąt ostry, więc $\sin \alpha >0$ i $\cos \alpha >0$
4. $\sqrt{3}\mathrm{tg}\alpha -2\sin \alpha =0$
5. Krok 2. Sprowadź do $\cos \alpha$
6. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$, skróć $\sin \alpha$
7. $\sqrt{3}\mathrm{tg}\alpha -2\sin \alpha =0$
8. zamieniamy tg α na sin α / cos α, a następnie skracamy sin α (kąt ostry, więc sin α ≠ 0)
9. $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$
10. po skróceniu zostaje wartość $\cos \alpha$ jako iloraz współczynników
11. $\cos \alpha =\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
12. Krok 3. Rozpoznaj kąt
13. wartość odpowiada kątowi szczególnemu z tablicy
14. $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =\boxed{30^{\circ }}$
15. Krok 4. Odczytaj szukaną wartość
16. $\cos \alpha =\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
17. pytanie dotyczy tej samej funkcji, którą wyznaczyliśmy z równania

Najczęstsze pomyłki: (1) skracanie $\cos \alpha$ zamiast $\sin \alpha$ (lub odwrotnie) i otrzymanie odwrotności ilorazu; (2) podanie wartości funkcji wyznaczonej z równania, gdy pytanie dotyczy innej funkcji tego kąta; (3) pomylenie wartości szczególnych $30^{\circ }$ i $60^{\circ }$ ($\sin$ i $\cos$ zamienione miejscami).