Upraszczanie wyrazenia trygonometrycznego

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: jedynka trygonometryczna

1. Sedno: każdą sumę kwadratów ${\sin }^2+{\cos }^2$ zastępujemy jedynką. Reszta to wyłączanie czynnika, skracanie i definicje $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$.
2. Krok 1. Wyrażenie
3. kluczowy wzór: ${\sin }^{2}25°+{\cos }^{2}25°=1$
4. $\frac{{\sin }^{3}25°+\sin 25°\cdot {\cos }^{2}25°}{\cos 25°}$
5. Krok 2. Wyłącz wspólny czynnik
6. w obu składnikach powtarza się $\sin 25°$
7. $\sin 25°\cdot {\sin }^{2}25°+\sin 25°\cdot {\cos }^{2}25°$
8. $\sin 25°$ podniesione do sześcianu to $\sin 25°\cdot {\sin }^{2}25°$, więc oba składniki mają wspólny czynnik $\sin 25°$
9. $\sin 25°\cdot ({\sin }^{2}25°+{\cos }^{2}25°)$
10. Krok 3. Zastosuj jedynkę
11. nawias to dokładnie jedynka trygonometryczna
12. $\sin 25°\cdot ({\sin }^{2}25°+{\cos }^{2}25°)$
13. suma ${\sin }^{2}25°+{\cos }^{2}25°$ jest równa $1$
14. $\sin 25°\cdot 1=\boxed{\sin 25°}$
15. Krok 4. Zamień iloraz na tangens
16. $\frac{\sin \mathsf{x}}{\cos \mathsf{x}}=\mathrm{tg}\mathsf{x}$, $\frac{\cos \mathsf{x}}{\sin \mathsf{x}}=\mathrm{ctg}\mathsf{x}$
17. $\frac{\sin 25°}{\cos 25°}$
18. iloraz $\sin 25°$ przez $\cos 25°$ to z definicji tangens
19. $=\boxed{\mathrm{tg}25°}$
20. Krok 5. Wynik
21. $\frac{{\sin }^{3}25°+\sin 25°\cdot {\cos }^{2}25°}{\cos 25°}=\boxed{\mathrm{tg}25°}$

Najczęstsza pomyłka: zatrzymanie się na ${\sin }^{2}25°$ (lub potraktowanie $1-{\cos }^{2}25°$ jako ${\cos }^{2}25°$). Po zastosowaniu jedynki trzeba jeszcze skrócić lub wyłączyć czynnik, żeby dojść do tangens.