Środkowa a funkcje trygonometryczne

Rozwiązanie krok po kroku

Kąt $\alpha$: w trójkącie prostokątnym $\mathsf{ACD}$ - brakujący bok z Pitagorasa, potem funkcja

1. Klucz 18.1: $\alpha$ jest w trójkącie $\mathsf{ACD}$ z kątem prostym przy $\mathsf{A}$. Przeciwprostokątna to $\mathsf{CD}$ (naprzeciw kąta prostego). Funkcję liczymy z definicji, biorąc właściwe boki względem kąta $\alpha$ przy wierzchołku $\mathsf{D}$.
2. Krok 1. Boki trójkąta $\mathsf{ACD}$
3. kąt prosty przy $\mathsf{A}$; brakuje boku $\mathsf{AC}$
4. $\mathsf{AC}=\sqrt{\mathsf{C}{\mathsf{D}}^2-\mathsf{A}{\mathsf{D}}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
5. z dwóch danych boków wyznaczamy trzeci: kwadrat przeciwprostokątnej to suma kwadratów przyprostokątnych
6. $\mathsf{AD}=3,\mathsf{AC}=4,\mathsf{CD}=5$
7. Krok 2. Tangens kąta $\alpha$
8. z definicji w trójkącie prostokątnym
9. $\tan \alpha =\frac{\mathsf{AC}}{\mathsf{AD}}=\frac{4}{3}$
10. podstawiamy długości boków - stosunek jest niezależny od skali trójkąta
11. $\tan \alpha =\frac{\mathsf{AC}}{\mathsf{AD}}=\boxed{\frac{4}{3}}$

Kąt $\beta$: w trójkącie prostokątnym $\mathsf{ACB}$ - przeciwprostokątna $\mathsf{BC}$ z Pitagorasa

1. Klucz 18.2: $\beta$ jest w trójkącie $\mathsf{ACB}$ (nie $\mathsf{ACD}$!). Przyprostokątne to całe $\mathsf{AB}=6$ (nie połowa) i $\mathsf{AC}$, a przeciwprostokątna $\mathsf{BC}$ wychodzi niewymierna - zostawiamy pierwiastek w mianowniku.
2. Krok 1. Przeciwprostokątna $\mathsf{BC}$
3. $\mathsf{AB}=6$, $\mathsf{AC}=4$
4. $\mathsf{BC}=\sqrt{\mathsf{A}{\mathsf{B}}^2+\mathsf{A}{\mathsf{C}}^2}=\sqrt{6^2+4^2}$
5. przeciwprostokątna $\mathsf{BC}$ leży naprzeciw kąta prostego przy $\mathsf{A}$; jej kwadrat to suma kwadratów przyprostokątnych $\mathsf{AB}$ i $\mathsf{AC}$
6. $\mathsf{BC}=\boxed{2\sqrt{13}}$
7. Krok 2. Tangens kąta $\beta$
8. z definicji w trójkącie prostokątnym
9. $\tan \beta =\frac{\mathsf{AC}}{\mathsf{AB}}=\frac{4}{6}$
10. podstawiamy boki; przy sinusie i cosinusie w mianowniku jest $\mathsf{BC}=2\sqrt{13}$, a ułamek upraszczamy
11. $\tan \beta =\frac{\mathsf{AC}}{\mathsf{AB}}=\boxed{\frac{2}{3}}$

Najczęstsze pomyłki: (1) mylenie trójkątów - $\alpha$ jest w $\mathsf{ACD}$ (bok $\mathsf{CD}$), a $\beta$ w $\mathsf{ACB}$ (bok $\mathsf{BC}$); (2) użycie $\mathsf{AD}$ (połowy) zamiast całego $\mathsf{AB}$ przy kącie $\beta$; (3) pomylenie przyprostokątnej przyległej z przeciwległą przy wyborze $\sin /\cos /\tan$; (4) zapominanie o Pitagorasie dla brakującego boku.