Wartość wyrażenia trygonometrycznego

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: jedynka trygonometryczna + uproszczenie wyrażenia

1. Klucz to dwa fakty: kąt rozwarty wymusza znak ($\cos \alpha <0$), a tangens zawsze rozpisujemy jako $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ - wtedy wyrażenie redukuje się do jednej funkcji.
2. Krok 1. Dane i znaki funkcji
3. Kąt rozwarty leży w II ćwiartce: $\sin \alpha >0$, a $\cos \alpha <0$ i $\mathrm{tg}\alpha <0$.
4. $\sin \alpha =\frac{1}{2},90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$
5. Krok 2. Wyznacz $\cos \alpha$ z jedynki
6. Z tożsamości ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.
7. ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$
8. przenosimy ${\sin }^2\alpha$ na drugą stronę i wstawiamy daną wartość
9. ${\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{4}$
10. podnosimy daną do kwadratu i odejmujemy od jedynki
11. ${\cos }^2\alpha =\boxed{\frac{3}{4}}$
12. pierwiastkujemy; kąt jest rozwarty, więc bierzemy wartość ujemną
13. $\cos \alpha =\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$
14. Krok 3. Uprość i podstaw
15. Korzystamy z $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.
16. $\frac{4}{\mathrm{tg}\alpha }$
17. tangens zapisujemy jako iloraz sinusa przez cosinus
18. $4\cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=4\cdot \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$
19. dzielenie przez ułamek to mnożenie przez odwrotność; wstawiamy obie wartości
20. $\boxed{-4\sqrt{3}}$

Pominięcie znaku przy pierwiastkowaniu jedynki - dla kąta rozwartego $\cos \alpha$ jest <strong>ujemny</strong>. Wzięcie wartości dodatniej daje błędny znak całego wyniku.

Tangensa nie trzeba liczyć osobno. Po wstawieniu $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ sinusy zwykle się skracają i zostaje wyrażenie zależne tylko od $\cos \alpha$.