Oblicz funkcje dwóch kątów

Rozwiązanie krok po kroku

Z definicji funkcji trygonometrycznej

1. Dane
2. $|\mathsf{AC}|=8\sqrt{2},|\mathsf{BC}|=18,|\mathsf{AD}|=4$
3. Druga przyprostokątna
4. $|\mathsf{AB}{|}^2=|\mathsf{BC}{|}^2-|\mathsf{AC}{|}^2$
5. twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC
6. $|\mathsf{AB}{|}^2={18}^2-{\left(8\sqrt{2}\right)}^2=\boxed{196}$
7. długość boku jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
8. $|\mathsf{AB}|=\boxed{14}$
9. Przeciwprostokątna trójkąta $\mathsf{ADC}$
10. $|\mathsf{DC}{|}^2=|\mathsf{AD}{|}^2+|\mathsf{AC}{|}^2=4^2+{\left(8\sqrt{2}\right)}^2=\boxed{144}$
11. trójkąt ADC ma kąt prosty przy wierzchołku A
12. $|\mathsf{DC}|=\boxed{12}$
13. Kąt $\mathsf{ACB}$
14. $\mathrm{tg}\sphericalangle \mathsf{ACB}=\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{AC}|}$
15. iloraz boków trójkąta ABC wskazany przez definicję
16. $\mathrm{tg}\sphericalangle \mathsf{ACB}=\frac{14}{8\sqrt{2}}$
17. mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{2}$, żeby w mianowniku została liczba wymierna
18. $\mathrm{tg}\sphericalangle \mathsf{ACB}=\boxed{\frac{7\sqrt{2}}{8}}$
19. Kąt $\mathsf{ADC}$
20. $\cos \sphericalangle \mathsf{ADC}=\frac{|\mathsf{AD}|}{|\mathsf{DC}|}$
21. ten sam iloraz, ale odczytany w trójkącie ADC
22. $\cos \sphericalangle \mathsf{ADC}=\frac{4}{12}$
23. skracamy licznik i mianownik przez 4
24. $\cos \sphericalangle \mathsf{ADC}=\boxed{\frac{1}{3}}$
25. $\mathrm{tg}\sphericalangle \mathsf{ACB}=\boxed{\frac{7\sqrt{2}}{8}}\cos \sphericalangle \mathsf{ADC}=\boxed{\frac{1}{3}}$

Przy wierzchołku A trójkąta ADC leży odcinek AD, nie BD. Podstawienie długości BD daje wartość funkcji dla zupełnie innego trójkąta.