Obliczanie funkcji trygonometrycznej z jedynki

Rozwiązanie krok po kroku

Trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa

1. Krok 1. Boki z danej funkcji
2. przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$ i przeciwprostokątna mają długości $4$ i $5$
3. $\sin \alpha =\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$
4. Wartość funkcji zależy tylko od stosunku boków, więc możemy przyjąć trójkąt prostokątny o bokach $4$ i $5$.
5. $\sin \alpha =\frac{4}{5}$
6. Krok 2. Trzeci bok z twierdzenia Pitagorasa
7. ${\mathsf{x}}^2+4^2=5^2$
8. Szukany bok $\mathsf{x}$ to przyprostokątna, więc od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat znanej przyprostokątnej.
9. ${\mathsf{x}}^2=25-16=9$
10. Długość boku jest dodatnia, więc bierzemy dodatni pierwiastek.
11. $\mathsf{x}=\sqrt{9}=\boxed{3}$
12. Krok 3. Szukana funkcja
13. boki trójkąta: przyległa $3$, przeciwległa $4$, przeciwprostokątna $5$
14. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}$
15. Przyległa i przeciwległa to przyprostokątne leżące odpowiednio przy kącie $\alpha$ i naprzeciw niego.
16. $\mathrm{tg}\alpha =\boxed{\frac{4}{3}}$

Kąt $\alpha$ jest ostry, więc wszystkie jego funkcje trygonometryczne są dodatnie. Ten sam wynik daje jedynka trygonometryczna ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ razem z $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.