Iloczyn potęg jako potęga dziesiątki

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: sprowadź do potęgi dziesiątki

1. Wszystkie cyfry poza wiodącą jedynką to zera - stąd suma cyfr $1$, cyfra setek $0$, parzystość i dokładnie 20 zer na końcu.
2. Krok 1. Dane
3. cel: zapisać $\mathsf{N}$ jako jedną potęgę liczby $10$
4. $\mathsf{N}={16}^5\cdot 5^{20}$
5. Krok 2. Sprowadź do podstaw 2 i 5
6. $16^5\cdot 5^{20}$
7. zapisujemy podstawę $16$ jako potęgę liczby $2$
8. ${\left(2^4\right)}^5\cdot 5^{20}$
9. potęga potęgi - mnożymy wykładniki: $4\cdot 5=20$
10. $2^{20}\cdot 5^{20}$
11. oba czynniki mają ten sam wykładnik $20$ - mnożymy podstawy
12. $(2\cdot 5{)}^{20}=\boxed{10^{20}}$
13. Krok 3. Postać dziesiętna
14. jedynka i 20 zer - razem 21 cyfr
15. $\mathsf{N}=\boxed{10^{20}}=1\underset{20\text{ zer}}{\underbrace{00\dots 0}}$

Wzór ${\mathsf{a}}^{\mathsf{n}}\cdot {\mathsf{b}}^{\mathsf{n}}=(\mathsf{a}\cdot \mathsf{b}{)}^{\mathsf{n}}$ wolno stosować tylko przy równych wykładnikach. Najpierw sprowadzamy oba czynniki do potęg liczb $2$ i $5$ o tym samym wykładniku, dopiero potem mnożymy podstawy.

$10^{20}$ dzieli się przez każdą liczbę postaci $2^{\mathsf{a}}\cdot 5^{\mathsf{b}}$ (np. $4$, $25$, $100$), a nie dzieli się przez liczbę z innym czynnikiem pierwszym (np. $3$, $7$, $11$). Jest kwadratem liczby naturalnej, gdy wykładnik jest parzysty, a sześcianem, gdy wykładnik dzieli się przez $3$ (tu wykładnik to $20$). Porównanie z potęgą dziesiątki to porównanie wykładników: $10^{20}>10^{\mathsf{y}}$ dokładnie wtedy, gdy $20>\mathsf{y}$.