Iloczyn potęg jako potęga dziesiątki

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: sprowadź do potęgi dziesiątki

1. Wszystkie cyfry poza wiodącą jedynką to zera - stąd suma cyfr $1$, cyfra setek $0$, parzystość i dokładnie 24 zera na końcu.
2. Krok 1. Dane
3. cel: zapisać $\mathsf{N}$ jako jedną potęgę liczby $10$
4. $\mathsf{N}=4^{12}\cdot 5^{24}$
5. Krok 2. Sprowadź do podstaw 2 i 5
6. $4^{12}\cdot 5^{24}$
7. zapisujemy podstawę $4$ jako potęgę liczby $2$
8. ${\left(2^2\right)}^{12}\cdot 5^{24}$
9. potęga potęgi - mnożymy wykładniki: $2\cdot 12=24$
10. $2^{24}\cdot 5^{24}$
11. oba czynniki mają ten sam wykładnik $24$ - mnożymy podstawy
12. $(2\cdot 5{)}^{24}=\boxed{10^{24}}$
13. Krok 3. Postać dziesiętna
14. jedynka i 24 zera - razem 25 cyfr
15. $\mathsf{N}=\boxed{10^{24}}=1\underset{24\text{ zera}}{\underbrace{00\dots 0}}$

Wzór ${\mathsf{a}}^{\mathsf{n}}\cdot {\mathsf{b}}^{\mathsf{n}}=(\mathsf{a}\cdot \mathsf{b}{)}^{\mathsf{n}}$ wolno stosować tylko przy równych wykładnikach. Najpierw sprowadzamy oba czynniki do potęg liczb $2$ i $5$ o tym samym wykładniku, dopiero potem mnożymy podstawy.

$10^{24}$ dzieli się przez każdą liczbę postaci $2^{\mathsf{a}}\cdot 5^{\mathsf{b}}$ (np. $4$, $25$, $100$), a nie dzieli się przez liczbę z innym czynnikiem pierwszym (np. $3$, $7$, $11$). Jest kwadratem liczby naturalnej, gdy wykładnik jest parzysty, a sześcianem, gdy wykładnik dzieli się przez $3$ (tu wykładnik to $24$). Porównanie z potęgą dziesiątki to porównanie wykładników: $10^{24}>10^{\mathsf{y}}$ dokładnie wtedy, gdy $24>\mathsf{y}$.