Pierwiastek jako potęga o wykładniku wymiernym

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: sprowadź wszystko do podstawy $\mathsf{p}$

1. Sztuczka: każdy pierwiastek i każdą liczbę sprowadzamy do potęgi tej samej podstawy $2$ - wtedy wystarczy dodać wykładniki.
2. Krok 1. Wyrażenie
3. podstawa pierwiastka to potęga: $4=2^2$
4. $\sqrt[3]{4^6}\cdot 2^5$
5. Krok 3. Zamień pierwiastek na potęgę
6. $\sqrt[3]{4^6}=\sqrt[3]{2^{12}}=2^{\frac{12}{3}}$
7. $\sqrt[3]{4^6}=\sqrt[3]{(2^2{)}^6}$
8. podstawa pierwiastka $4$ to $2^2$ - potęgę potęgujemy mnożąc wykładniki
9. $\sqrt[3]{2^{12}}$
10. pierwiastek $\mathsf{n}$-tego stopnia to potęga o wykładniku $\frac{1}{\mathsf{n}}$
11. $2^{\frac{12}{3}}$
12. Krok 4. Pomnóż potęgi o podstawie $\mathsf{p}$
13. ${\mathsf{p}}^{\mathsf{x}}\cdot {\mathsf{p}}^{\mathsf{y}}={\mathsf{p}}^{\mathsf{x}+\mathsf{y}}$ - dodajemy wykładniki
14. $2^5\cdot 2^{\frac{12}{3}}$
15. ta sama podstawa - wykładniki dodajemy
16. $2^{5+\frac{12}{3}}$
17. $5+\frac{12}{3}=9$ - reszta dzielenia jest zerowa, więc wykładnik jest całkowity
18. $2^9$
19. Krok 5. Wynik
20. $\boxed{2^9}$

Najczęstsza pomyłka: pomnożenie wykładników ($5\cdot \frac{12}{3}$) zamiast ich dodania, albo pominięcie stopnia pierwiastka $\mathsf{n}$ przy zamianie $\sqrt[3]{4^6}$ na potęgę.