Iloczyn i iloraz pierwiastków trzeciego stopnia

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wszystko pod jeden pierwiastek

1. Sedno: nie liczymy pierwiastków pojedynczo. Zbieramy wszystko pod jeden $\sqrt[3]{}$, skracamy ułamek, a na końcu raz wyciągamy sześcian. W pierwiastku nieparzystego stopnia znak minus zostaje pod pierwiastkiem (np. $\sqrt[3]{-125}=-5$).
2. Krok 1. Połącz pierwiastki pod wspólnym znakiem
3. iloczyn pierwiastków = pierwiastek z iloczynu, iloraz pierwiastków = pierwiastek z ilorazu
4. $\sqrt[3]{\mathsf{x}}\cdot \sqrt[3]{\mathsf{y}}=\sqrt[3]{\mathsf{x}\cdot \mathsf{y}}\frac{\sqrt[3]{\mathsf{x}}}{\sqrt[3]{\mathsf{y}}}=\sqrt[3]{\frac{\mathsf{x}}{\mathsf{y}}}$
5. Krok 2. Zwiń licznik i mianownik
6. $\frac{\sqrt[3]{-270}}{\sqrt[3]{10}}$
7. liczby z licznika dają $\sqrt[3]{-270}$, a z mianownika $\sqrt[3]{10}$
8. $\sqrt[3]{\frac{-270}{10}}$
9. iloraz dwóch pierwiastków zapisujemy jako jeden pierwiastek z ułamka
10. Krok 3. Uprość ułamek pod pierwiastkiem
11. $\sqrt[3]{\frac{-270}{10}}$
12. dzielimy licznik przez mianownik - dopiero teraz cały mianownik $\sqrt[3]{10}$ znika
13. $\sqrt[3]{-27}$
14. Krok 4. Oblicz pierwiastek sześcienny
15. szukamy liczby, której sześcian daje $-27$
16. $\sqrt[3]{-27}$
17. $(-3{)}^3=-27$, więc $\sqrt[3]{-27}=-3$
18. $\boxed{-3}$

Najczęstszy błąd to <strong>niepełne dzielenie przez mianownik</strong> - skrócenie tylko jednego czynnika ($2$ albo $5$ zamiast obu) - oraz <strong>mylenie stopnia</strong>, czyli traktowanie $\sqrt[3]{}$ jak pierwiastka kwadratowego. Najpewniejsza droga: wszystko pod jeden pierwiastek, skróć ułamek, wyciągnij sześcian.