Pierwiastek zagnieżdżony jako potęga

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pierwiastek jako potęga ułamkowa

1. Sedno: każdy pierwiastek to dzielenie wykładnika przez jego stopień. Przy wspólnej podstawie cała trójwarstwowa konstrukcja redukuje się do działań na wykładnikach.
2. Krok 1. Wyrażenie
3. $\sqrt[3]{10\sqrt[3]{10^4\sqrt[3]{10^2}}}$
4. Krok 2. Najgłębszy pierwiastek na potęgę
5. $\sqrt[3]{10^2}=10^{\frac{2}{3}}$
6. $\sqrt[3]{10\cdot \sqrt[3]{10^4\cdot \sqrt[3]{10^2}}}$
7. wykładnik $2$ dzielimy przez stopień $3$
8. $\sqrt[3]{10\cdot \sqrt[3]{10^4\cdot 10^{\frac{2}{3}}}}$
9. Krok 3. Środkowa warstwa
10. łączymy potęgi i dzielimy przez stopień $3$
11. $\sqrt[3]{10\cdot \sqrt[3]{10^4\cdot 10^{\frac{2}{3}}}}$
12. najpierw sumujemy wykładniki, potem dzielimy przez stopień pierwiastka środkowego $3$
13. $\sqrt[3]{10\cdot 10^{\frac{14}{9}}}$
14. Krok 4. Połącz pod pierwiastkiem zewnętrznym
15. $\sqrt[3]{10\cdot 10^{\frac{14}{9}}}$
16. ${\mathsf{a}}^{\mathsf{x}}\cdot {\mathsf{a}}^{\mathsf{y}}={\mathsf{a}}^{\mathsf{x}+\mathsf{y}}$
17. $\sqrt[3]{10^{\frac{23}{9}}}$
18. Krok 5. Zewnętrzny pierwiastek na potęgę
19. $\sqrt[3]{10^{\frac{23}{9}}}$
20. dzielimy wykładnik przez stopień $3$ i skracamy ułamek
21. $\boxed{10^{\frac{23}{27}}}$

Najczęstszy błąd to <strong>mylenie kolejności</strong> - mnożenie wykładnika przez stopień zamiast dzielenia, albo gubienie warstwy środkowej. Zasada jest jedna: $\sqrt[\mathsf{d}]{{\mathsf{a}}^{\mathsf{k}}}={\mathsf{a}}^{\frac{\mathsf{k}}{\mathsf{d}}}$, a wykładniki tej samej podstawy <strong>dodajemy</strong>.