Porównaj liczbę z pierwiastkiem

Rozwiązanie krok po kroku

Porównanie przez kwadraty

1. Znak $\square$ oznacza szukaną relację, ustala się ją dopiero po porównaniu liczb pod pierwiastkiem.
2. Liczba odniesienia
3. $5=\sqrt{25},5^2=25$
4. Pierwsza luka
5. postać $\mathsf{a}\sqrt{\mathsf{b}}$
6. $2\sqrt{6}\square 5$
7. czynnik stojący przed pierwiastkiem wchodzi pod pierwiastek podniesiony do kwadratu, a liczba odniesienia zapisuje się jako pierwiastek ze swojego kwadratu
8. $\sqrt{24}\square \sqrt{25}$
9. z dwóch pierwiastków większy jest ten, pod którym stoi większa liczba
10. $24<25$
11. wracamy do liczb sprzed podniesienia do kwadratu, znak zostaje ten sam
12. $\boxed{2\sqrt{6}<5}$
13. Druga luka
14. postać $\mathsf{c}\pm \sqrt{\mathsf{d}}$
15. $6-\sqrt{3}\square 5$
16. stałą 6 dzieli od liczby 5 odległość 1, więc wynik zależy tylko od tego, czy odejmowany pierwiastek jest od tej odległości większy, czy mniejszy
17. $\sqrt{3}\square 1$
18. obie strony są dodatnie, więc ich kwadraty ustawiają się w tej samej kolejności
19. $3>1$
20. im większa liczba pod pierwiastkiem, tym mniejsza różnica, więc znak się odwraca
21. $\boxed{6-\sqrt{3}<5}$
22. Liczby wpisane w luki
23. $\boxed{2\sqrt{6}\text{ oraz }6-\sqrt{3}}$

Wciągnięcie czynnika pod pierwiastek wymaga podniesienia go do kwadratu: $\mathsf{a}\sqrt{\mathsf{b}}=\sqrt{{\mathsf{a}}^2\mathsf{b}}$, a nie $\sqrt{\mathsf{ab}}$.

Przy postaci $\mathsf{c}-\sqrt{\mathsf{d}}$ większa liczba pod pierwiastkiem daje mniejszą wartość całego wyrażenia, więc wniosek z porównania liczb pod pierwiastkiem odwraca się.