Kwadrat dwumianu z pierwiastkiem i wyłączanie czynnika

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiń kwadrat i uprość pierwiastek

1. Klucz: $(\sqrt{2}{)}^2$ kasuje pierwiastek (daje $2$, nie $2\sqrt{2}$), a $\sqrt{5^2\cdot 2}$ to $5\sqrt{2}$ (a nie $5^2\sqrt{2}$ ani $2\sqrt{5}$).
2. Krok 1. Wyrażenie do obliczenia
3. dwie części: $(\sqrt{2}+3{)}^2$ oraz $\sqrt{50}$
4. $(\sqrt{2}+3{)}^2-\sqrt{50}$
5. Krok 2. Rozwiń kwadrat
6. wzór $(\mathsf{a}+\mathsf{b}{)}^2={\mathsf{a}}^2+2ab+{\mathsf{b}}^2$ z $\mathsf{a}=\sqrt{2}$, $\mathsf{b}=+3$
7. $(\sqrt{2}{)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot (+3)+(+3{)}^2$
8. kwadrat pierwiastka kasuje pierwiastek, a znak przy $\mathsf{n}$ znika w kwadracie
9. $2+2\cdot \sqrt{2}\cdot (+3)+9$
10. wymnażamy współczynnik środkowego wyrazu
11. $2+6\sqrt{2}+9$
12. dodajemy wyrazy bez pierwiastka (część całkowita)
13. $\boxed{11+6\sqrt{2}}$
14. Krok 3 (sposób A). Rozkład na kwadrat
15. rozbicie liczby pod pierwiastkiem na iloczyn kwadratu i reszty
16. $\sqrt{50}$
17. rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn kwadratu i $\mathsf{p}$
18. $\sqrt{25\cdot 2}$
19. rozdzielamy pierwiastek na iloczyn
20. $\sqrt{25}\cdot \sqrt{2}$
21. kwadrat znika pod pierwiastkiem: $\sqrt{5^2}=5$
22. $\boxed{5\sqrt{2}}$
23. Krok 3 (sposób B). Drabinka czynników pierwszych
24. rozkład liczby przez kolejne dzielenia; pary tych samych czynników wychodzą spod pierwiastka
25. $\sqrt{50}$
26. dzielimy liczbę kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do 1
27. $5\sqrt{2}$
28. każda para tej samej liczby pierwszej wychodzi spod pierwiastka jako jedna kopia
29. $\boxed{5\sqrt{2}}$
30. Wynik Kroku 3 (oba sposoby dają to samo)
31. $\sqrt{50}=\boxed{5\sqrt{2}}$
32. Krok 4. Zbierz wyrazy podobne
33. łączymy wynik z Kroku 2 ze znakiem ${\mathsf{s}}_2$ przed wynikiem z Kroku 3
34. $(11+6\sqrt{2})-5\sqrt{2}$
35. współczynniki przy $\sqrt{2}$ łączymy w jeden
36. $11+\sqrt{2}$
37. część całkowita oraz wyraz z $\sqrt{2}$ (gdy współczynnik wyniesie 0, pierwiastek znika)
38. $\boxed{11+\sqrt{2}}$

<strong>Pominięcie środkowego wyrazu.</strong> Przy podnoszeniu do kwadratu wyrażenia $(\sqrt{2}+3{)}^2$ trzeba dodać podwójny iloczyn $2\cdot \sqrt{2}\cdot 3$. Jeśli go zgubisz, zostanie ci sama część bez pierwiastka, a odpowiedź wyjdzie zła.<br><br><strong>Zły współczynnik przy pierwiastku.</strong> $\sqrt{25\cdot 2}$ to $5\sqrt{2}$, a <em>nie</em> $25\sqrt{2}$. Spod pierwiastka wychodzi $5$ (nie $5^2$), bo $\sqrt{5^2}=5$.