Zsumuj odwrotności logarytmów

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: zamiana podstawy logarytmu

1. Krok 1. Co wykazujemy
2. $\frac{1}{{\log }_{3}20+1}+\frac{1}{{\log }_{5}15+{\log }_{5}4}+\frac{1}{\frac{1}{2}{\log }_{4}3600}=1$
3. Krok 2. Zwiń mianowniki
4. każdy mianownik to logarytm z $60$
5. $\frac{1}{{\log }_{3}20+1}+\frac{1}{{\log }_{5}15+{\log }_{5}4}+\frac{1}{\frac{1}{2}{\log }_{4}3600}$
6. Jedynkę w mianowniku zapisujemy jako ${\log }_{\mathsf{a}}\mathsf{a}$, po czym sumę i różnicę logarytmów o tej samej podstawie zwijamy do jednego logarytmu, a połowę logarytmu z kwadratu skraca reguła ${\log }_{\mathsf{a}}{\mathsf{b}}^2=2{\log }_{\mathsf{a}}\mathsf{b}$.
7. $\frac{1}{{\log }_{3}60}+\frac{1}{{\log }_{5}60}+\frac{1}{{\log }_{4}60}$
8. Krok 3. Odwróć logarytmy
9. $\frac{1}{{\log }_{3}60}+\frac{1}{{\log }_{5}60}+\frac{1}{{\log }_{4}60}$
10. Wzór na zamianę podstawy: odwrotność logarytmu zamienia podstawę z liczbą logarytmowaną, więc wszystkie składniki dostają wspólną podstawę $60$.
11. ${\log }_{60}3+{\log }_{60}5+{\log }_{60}4$
12. Krok 4. Zsumuj
13. ${\log }_{60}3+{\log }_{60}5+{\log }_{60}4$
14. Podstawy są już jednakowe, więc sumę zamieniamy na logarytm iloczynu.
15. ${\log }_{60}(3\cdot 5\cdot 4)$
16. Iloczyn podstaw to $60$, czyli liczba związana z $60$ tak, że logarytm daje wynik od razu.
17. ${\log }_{60}60=\boxed{1}$

Wspólna podstawa: logarytmy dziesiętne

1. Krok 1. Zapisz logarytmy ilorazem
2. $\frac{1}{{\log }_{3}60}+\frac{1}{{\log }_{5}60}+\frac{1}{{\log }_{4}60}$
3. Każdy logarytm zapisujemy ilorazem logarytmów dziesiętnych, a odwrócenie ułamka odwraca ten iloraz.
4. $\frac{\log 3}{\log 60}+\frac{\log 5}{\log 60}+\frac{\log 4}{\log 60}$
5. Krok 2. Dodaj ułamki
6. $\frac{\log 3}{\log 60}+\frac{\log 5}{\log 60}+\frac{\log 4}{\log 60}$
7. Wszystkie ułamki mają ten sam mianownik $\log 60$, więc dodajemy same liczniki.
8. $\frac{\log 3+\log 5+\log 4}{\log 60}$
9. Krok 3. Zwiń licznik
10. $\frac{\log 3+\log 5+\log 4}{\log 60}$
11. Licznik zwija się do logarytmu iloczynu podstaw, czyli $\log 60$.
12. $\frac{\log 60}{\log 60}=\boxed{1}$

Odwrotność logarytmu zamienia podstawę z liczbą logarytmowaną, a nie znak: $\frac{1}{{\log }_{\mathsf{a}}\mathsf{b}}={\log }_{\mathsf{b}}\mathsf{a}$, nie $-{\log }_{\mathsf{a}}\mathsf{b}$.