Logarytm o podstawie z pierwiastkiem

Rozwiązanie krok po kroku

Pierwiastek na potęgę, potem reguła logarytmu

1. Schemat: oba pierwiastki na potęgi tej samej podstawy, potem wartość logarytmu to iloraz wykładników.
2. Krok 1. Wyrażenie
3. podstawa i argument to potęgi $5$
4. ${\log }_{5^5}\sqrt[3]{5}$
5. Krok 2. Pierwiastki → potęgi
6. $\sqrt[\mathsf{r}]{{\mathsf{p}}^{\mathsf{s}}}={\mathsf{p}}^{\frac{\mathsf{s}}{\mathsf{r}}}$
7. pierwiastek stopnia $\mathsf{r}$ to potęga o wykładniku $\frac{1}{\mathsf{r}}$
8. ${\log }_{5^5}\left(5^{\frac{1}{3}}\right)$
9. Krok 3. Iloraz wykładników
10. ${\log }_{{\mathsf{p}}^{\mathsf{x}}}\left({\mathsf{p}}^{\mathsf{y}}\right)=\frac{\mathsf{y}}{\mathsf{x}}=\frac{\frac{1}{3}}{5}$
11. wartość logarytmu to wykładnik argumentu podzielony przez wykładnik podstawy
12. $=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{15}$
13. dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność
14. Wynik
15. ${\log }_{5^5}\sqrt[3]{5}=\boxed{\frac{1}{15}}$

Gdy w podstawie nie ma pierwiastka ($\mathsf{n}=1$), jej wykładnik to po prostu $\mathsf{k}$. Gdy argumentem jest sama liczba ($\mathsf{m}=1$), jej wykładnik to $1$.