Wyraź logarytm przez dane

Wykaż, że jeżeli $a = lo g_{3} 54$ oraz $b = lo g_{3} 625$ , to $lo g_{5} 54 = \frac{8a}{b}$ .

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wszystko na jedną podstawę

Rozkład na czynniki pierwsze
$54 = 3^{3} \cdot 2, 625 = 5^{4}, 54 = 3^{3} \cdot 2$
Z danej $a$
$a = lo g_{3} 54 = lo g_{3} (3^{3} \cdot 2)$
logarytm iloczynu rozbija się na sumę logarytmów
$a = 3 + lo g_{3} 2$
$lo g_{3} 3^{3} = 3$ , więc zostaje sam szukany logarytm
$lo g_{3} 2 = a - 3$
Z danej $b$
$b = lo g_{3} 625$
pierwiastek stopnia 2 w podstawie mnoży logarytm przez 2
$b = 2 lo g_{3} (5^{4})$
wykładnik argumentu wychodzi przed logarytm
$b = 2 \cdot 4 lo g_{3} 5 = 8 lo g_{3} 5$
dzielimy obie strony przez 8
$lo g_{3} 5 = \frac{b}{8}$
Argument tezy w podstawie $3$
$lo g_{3} 54 = lo g_{3} (3^{3} \cdot 2)$
ten sam rozkład na czynniki pierwsze co w danych
$= 3 + lo g_{3} 2$
podstawiamy logarytm wyliczony z danej
$= 3 + a - 3$
porządkujemy wyrażenie do jednego zapisu
$lo g_{3} 54 = a$
Zamiana podstawy
$lo g_{5} 54 = \frac{l o g _{3} 54}{l o g _{3} 5}$
oba logarytmy zapisujemy w podstawie 3, bo tylko takie znamy z danych
$= \frac{a}{\frac{b}{8}}$
licznik i mianownik mnożymy przez 8, żeby zniknął ułamek w ułamku
$lo g_{5} 54 = \frac{8a}{b}$

Inne zadania z tego tematu

Wszystkie zadania z tematu Logarytmy