Skróć łańcuch logarytmów

Rozwiązanie krok po kroku

Zamiana podstawy i skrócenie łańcucha

1. Łańcuch podstaw
2. $\frac{1}{{\log }_{36}26}\cdot {\log }_{6}16\cdot {\log }_{16}26^2$
3. Wykładnik argumentu wyciągamy przed logarytm, a odwrotność logarytmu zamieniamy na logarytm z zamienioną podstawą i argumentem. Czynniki ustawiamy tak, by argument każdego logarytmu był podstawą następnego.
4. $2\cdot {\log }_{6}16\cdot \dots \cdot {\log }_{26}36$
5. Zamiana podstawy
6. $2\cdot \frac{\log 16}{\log 6}\cdot \frac{\log 26}{\log 16}\cdot \dots \cdot \frac{\log 36}{\log 26}$
7. Każdy czynnik zapisujemy jako iloraz logarytmów dziesiętnych; licznik każdego ułamka skraca się z mianownikiem następnego.
8. $2\cdot \frac{\log 36}{\log 6}$
9. Po skróceniu zostaje licznik ostatniego ułamka i mianownik pierwszego.
10. $\boxed{2{\log }_{6}36}$
11. Wartość logarytmu
12. $2{\log }_6{6}^2$
13. Podstawę i argument zapisujemy jako potęgi tej samej liczby 6.
14. $2\cdot 2=\boxed{4}$
15. Wniosek
16. $\boxed{4}\in \mathbb{N}$