Iloraz potęgi i łańcucha logarytmów

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: sprowadź podstawy i skróć czynnik 4

1. Sedno: $16=4^2$ podwaja cały wykładnik i uzgadnia podstawę z logarytmem, a cykliczny iloczyn logarytmów w $\mathsf{b}$ znosi się do $1$. Po podstawieniu czynnik $4$ z $\mathsf{a}$ skraca się z mianownikiem i zostaje czysta potęga trójki.
2. Krok 1. Co liczymy
3. Dwie liczby liczymy osobno, potem dzielimy $\mathsf{a}$ przez $3\cdot \mathsf{b}$.
4. $\mathsf{a}=16^{\frac{1}{2}{\log }_{4}36-{\log }_{4}3}\mathsf{b}={\log }_3\left(2^2\right)\cdot {\log }_2\left(5^1\right)\cdot {\log }_5\left(3^2\right)$
5. Krok 2A. Liczba $\mathsf{a}$
6. $16=4^2$, więc cały wykładnik mnoży się przez $2$.
7. $\mathsf{a}={\left(4^2\right)}^{\frac{1}{2}{\log }_{4}36-{\log }_{4}3}$
8. podstawę zapisujemy jako potęgę czwórki - to pozwala uzgodnić ją z logarytmem o podstawie 4
9. $\mathsf{a}=4^{2\cdot \left(\frac{1}{2}{\log }_{4}36-{\log }_{4}3\right)}$
10. przy potędze z potęgi wykładniki mnożymy - dwójka wchodzi do środka
11. $\mathsf{a}=4^{{\log }_{4}36-2{\log }_{4}3}$
12. połowa przy pierwszym logarytmie znika, a współczynnik przy ${\log }_{4}3$ się podwaja
13. $\mathsf{a}=4^{{\log }_{4}4}$
14. różnicę logarytmów o tej samej podstawie zwijamy w logarytm ilorazu, a $4^{{\log }_4\mathsf{t}}=\mathsf{t}$
15. $\mathsf{a}=\boxed{4}$
16. Krok 2B. Liczba $\mathsf{b}$
17. Wykładnik argumentu wychodzi przed logarytm, a cykliczny iloczyn logarytmów daje $1$.
18. $\mathsf{b}=2{\log }_{3}2\cdot 1{\log }_{2}5\cdot 2{\log }_{5}3$
19. wykładnik z argumentu każdego logarytmu wyciągamy przed logarytm jako czynnik
20. $\mathsf{b}=4\cdot \underset{=1}{\underbrace{\left({\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}5\cdot {\log }_{5}3\right)}}$
21. cykliczny iloczyn logarytmów po podstawach $\{2,3,5\}$ jest równy $1$ - podstawy skracają się w kółko
22. $\mathsf{b}=4\cdot 1=\boxed{4}$
23. Krok 3. Iloraz $\frac{\mathsf{a}}{3\cdot \mathsf{b}}$
24. Czynnik $4$ z licznika skraca się z mianownikiem.
25. $\frac{\mathsf{a}}{3\cdot \mathsf{b}}=\frac{4\cdot 3^0}{3\cdot 4}$
26. w liczniku zapisujemy $\mathsf{a}=4\cdot 3^0$, w mianowniku iloczyn dzielnika i policzonego $\mathsf{b}$
27. $\frac{\mathsf{a}}{3\cdot \mathsf{b}}=\frac{4\cdot 3^0}{4\cdot 3^1}$
28. mianownik rozkładamy tak, by wydzielić czynnik $4$ i potęgę trójki
29. $\frac{\mathsf{a}}{3\cdot \mathsf{b}}=\frac{\cancel{4}\cdot 3^0}{\cancel{4}\cdot 3^1}$
30. czwórki w liczniku i mianowniku się skracają - zostaje sam iloraz potęg trójki
31. $\frac{\mathsf{a}}{3\cdot \mathsf{b}}=3^{0-1}=\boxed{3^{-1}}$

Potraktowanie $16$ jak $4$ i pominięcie mnożenia całego wykładnika przez $2$ - wtedy $\mathsf{a}=4^{\frac{1}{2}{\log }_{4}36-{\log }_{4}3}$ zamiast poprawnego, co zaniża potęgę trójki. Pamiętaj: $16=4^2$, więc każdy składnik wykładnika podwaja się.

Iloczyn logarytmów ${\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}5\cdot {\log }_{5}3$ jest zawsze równy $1$ niezależnie od kolejności podstaw - wynika to z reguły zmiany podstawy ${\log }_{\mathsf{a}}\mathsf{b}=\frac{\ln \mathsf{b}}{\ln \mathsf{a}}$: liczniki i mianowniki skracają się cyklicznie.