Wykaż podzielność trójmianu

Rozwiązanie krok po kroku

Postać ogólna wstawiona do wyrażenia

1. Wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, więc cała liczba jest wielokrotnością liczby 20.
2. Postać ogólna
3. $\mathsf{n}=2k+1,\mathsf{k}\in \mathbb{Z}$
4. Podstawienie
5. $5(2k+1{)}^2+30(2k+1)+65$
6. kwadrat sumy oraz mnożenie nawiasu przez współczynnik
7. $20{\mathsf{k}}^2+20k+5+60k+30+65$
8. sumujemy wyrazy z $\mathsf{k}$ oraz wyrazy wolne
9. $\boxed{20k^2+80k+100}$
10. Wspólny czynnik przed nawias
11. $20{\mathsf{k}}^2+80k+100$
12. każdy współczynnik jest wielokrotnością liczby 20
13. $\boxed{20({\mathbf{k}}^2+4k+5)}$

Zwinięcie do kwadratu

1. Czynnik 5 pochodzi ze współczynników trójmianu, czwórka z parzystości liczby $\mathsf{n}$.
2. Kwadrat i stała
3. $5{\mathsf{n}}^2+30n+65$
4. trójmian jest kwadratem sumy powiększonym o stałą
5. $5\cdot (\mathsf{n}+3{)}^2+20$
6. Nawias jest parzysty
7. dla $\mathsf{n}=2k+1$
8. $\mathsf{n}+3=2(\mathsf{k}+2)$
9. Dzielnik złożony
10. $5\cdot (2(\mathsf{k}+2){)}^2+20$
11. czwórka z kwadratu dwójki wchodzi do dzielnika obok współczynnika przy ${\mathsf{n}}^2$
12. $\boxed{20((\mathbf{k}+2{)}^2+1)}$

Podstawienie $\mathsf{n}=2k$ zamiast $\mathsf{n}=2k+1$: wyrazy nie układają się wtedy w wielokrotność liczby 20.