Różnica kwadratów

Rozwiązanie krok po kroku

Dowód: rozkład ${\mathsf{a}}^2-{\mathsf{b}}^2=(\mathsf{a}-\mathsf{b})(\mathsf{a}+\mathsf{b})$

1. Istota dowodu: skoro reszty sumują się do $11$ ($7+4=11$), to $\mathsf{a}+\mathsf{b}=11(2n+1)$ dzieli się przez $11$ - a wraz z nim cały iloczyn $(\mathsf{a}-\mathsf{b})(\mathsf{a}+\mathsf{b})$.
2. Krok 1. Zapis parametryczny
3. reszta $7$ i reszta $4$ sumują się do $7+4=11$ - to klucz całego dowodu
4. $\mathsf{a}=11\mathsf{n}+7,\mathsf{b}=11\mathsf{n}+4,\mathsf{n}\in \mathbb{Z}$
5. Krok 2. Różnica kwadratów
6. rozkładamy na czynniki, każdy liczymy osobno
7. ${\mathsf{a}}^2-{\mathsf{b}}^2=(\mathsf{a}-\mathsf{b})(\mathsf{a}+\mathsf{b})$
8. Czynnik $\mathsf{a}-\mathsf{b}$
9. $\mathsf{a}-\mathsf{b}=(11\mathsf{n}+7)-(11\mathsf{n}+4)$
10. te same składniki $11n$ znoszą się - zostają same reszty
11. $\mathsf{a}-\mathsf{b}=7-4=\boxed{3}$
12. Czynnik $\mathsf{a}+\mathsf{b}$
13. $\mathsf{a}+\mathsf{b}=(11\mathsf{n}+7)+(11\mathsf{n}+4)$
14. sumujemy; reszty dają $7+4=11$, a $11n+11n=22n$
15. $\mathsf{a}+\mathsf{b}=22n+11=\boxed{11(2n+1)}$
16. Krok 3. Wniosek
17. iloczyn czynników zawiera mnożnik $11$
18. ${\mathsf{a}}^2-{\mathsf{b}}^2=3\cdot 11(2n+1)$
19. podstawiamy oba obliczone czynniki
20. ${\mathsf{a}}^2-{\mathsf{b}}^2=11\cdot [3(2n+1)]$
21. wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, więc całość jest wielokrotnością $11$
22. ${\mathsf{a}}^2-{\mathsf{b}}^2=11\cdot \boxed{\text{(liczba całkowita)}}$

Częsty błąd: rozpisanie ${\mathsf{a}}^2$ i ${\mathsf{b}}^2$ osobno i mnożenie wielomianów. Rozkład ${\mathsf{a}}^2-{\mathsf{b}}^2=(\mathsf{a}-\mathsf{b})(\mathsf{a}+\mathsf{b})$ jest znacznie krótszy i od razu odsłania czynnik $\mathsf{a}+\mathsf{b}=11(2n+1)$.

Zapis $\mathsf{n}\in \mathbb{Z}$ (a nie $\mathbb{N}$) jest istotny - twierdzenie dotyczy <strong>wszystkich</strong> liczb całkowitych, także ujemnych. To samo $\mathsf{n}$ dla $\mathsf{a}$ i $\mathsf{b}$ jest dozwolone, bo dla różnych liczb po prostu bierzemy różne $\mathsf{n}$.