Suma kolejnych potęg

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wyłączenie wspólnego czynnika

1. Liczba zapisana jako iloczyn z czynnikiem $8$ jest podzielna przez $8$ dla każdej liczby całkowitej $\mathsf{n}⩾0$. To kończy dowód.
2. Krok 1. Wyłącz wspólny czynnik
3. Najniższa potęga to $7^{\mathsf{n}}$ - wyłączamy ją przed nawias.
4. $7^{\mathsf{n}}+7^{\mathsf{n}+1}=7^{\mathsf{n}}\left(1+7\right)$
5. $7^{\mathsf{n}}$ jest wspólnym czynnikiem każdego składnika; w nawiasie zostają kolejne potęgi $7$ od $7^0=1$ wzwyż
6. $\boxed{7^n\left(1+7\right)}$
7. Krok 2. Oblicz wartość nawiasu
8. Sumujemy potęgi w nawiasie - to stała liczba, niezależna od $\mathsf{n}$.
9. $7^{\mathsf{n}}\left(1+7\right)=7^{\mathsf{n}}\cdot 8$
10. obliczamy sumę potęg w nawiasie: $1+7=8$
11. $\boxed{7^n\cdot 8}$
12. Krok 3. Wskaż dzielnik
13. Suma w nawiasie jest równa dzielnikowi $8$.
14. $7^{\mathsf{n}}\cdot 8=8\cdot 7^{\mathsf{n}}$
15. wartość nawiasu $8$ jest dokładnie dzielnikiem $8$, więc to ona jest szukanym czynnikiem
16. $\boxed{8\cdot 7^{\mathbf{n}}}$

Wyłączenie $7^{\mathsf{n}+1}$ albo zapis $7^{\mathsf{n}}\cdot 2$ zamiast $7^{\mathsf{n}}$ - przed nawias wychodzi <strong>najniższa</strong> potęga $7^{\mathsf{n}}$, bo tylko ona dzieli każdy składnik sumy.

Klucz dowodu: po wyłączeniu $7^{\mathsf{n}}$ w nawiasie zostaje stała liczba $8$ niezależna od $\mathsf{n}$. Skoro $8$ dzieli $8$, to dzieli całe wyrażenie dla każdego $\mathsf{n}$.