Różnica potęg

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wspólna podstawa i wyłączenie czynnika

1. Liczba zapisana jako $2^{109}\cdot 31$ ma czynnik $31$, więc jest podzielna przez $31$. To kończy dowód.
2. Krok 1. Wspólna podstawa
3. $4=2^2$, więc pierwszy człon zapisujemy jako potęgę $2$.
4. $4^{57}-2^{109}={\left(2^2\right)}^{57}-2^{109}$
5. podstawę pierwszego członu zapisujemy jako potęgę liczby $2$
6. $=2^{114}-2^{109}$
7. mnożymy wykładniki: $2\cdot 57=114$, oba człony mają teraz podstawę $2$
8. $\boxed{2^{114}-2^{109}}$
9. Krok 2. Wyłącz wspólny czynnik
10. Niższy wykładnik to $109$ - wyłączamy $2^{109}$ przed nawias.
11. $2^{114}-2^{109}=2^{109}\cdot 2^5-2^{109}$
12. rozbijamy wyższą potęgę: $2^{114}=2^{109}\cdot 2^5$, bo $109+5=114$
13. $=2^{109}\left(2^5-1\right)$
14. $2^{109}$ jest wspólne dla obu składników, wyciągamy je przed nawias
15. $\boxed{2^{109}\left(2^5-1\right)}$
16. Krok 3. Oblicz nawias i wskaż dzielnik
17. $2^{109}\left(2^5-1\right)=2^{109}\left(32-1\right)$
18. $2^5=32$, więc nawias to $32-1$
19. $=2^{109}\cdot \boxed{31}$

Wyłączenie $2^{114}$ zamiast $2^{109}$ - przed nawias wychodzi <strong>niższa</strong> potęga (mniejszy wykładnik $109$), bo tylko ona dzieli oba składniki.

Klucz dowodu: po sprowadzeniu do wspólnej podstawy różnica wykładników wynosi $5$, a $2^5-1=31$ jest dokładnie szukanym dzielnikiem.