Rozkład na czynniki i parzystość

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wyłącz czynnik, potem rozważ parzystość

1. Rozważenie obu przypadków jest konieczne - sprawdzenie kilku wartości $\mathsf{n}$ nie jest dowodem, bo teza dotyczy każdej liczby całkowitej.
2. Krok 1. Rozłóż dzielnik
3. trzeba znaleźć oba czynniki
4. $22=11\cdot 2$
5. Krok 2. Wyłącz wspólny czynnik
6. $11{\mathsf{n}}^2+55\mathsf{n}$
7. oba składniki dzielą się przez 11 oraz przez $\mathsf{n}$
8. $11\mathsf{n}\left(\mathsf{n}+5\right)$
9. Gdy $\mathsf{n}$ jest parzyste
10. $\mathsf{n}=2\mathsf{m}$
11. brakujący czynnik 2 siedzi wprost w $\mathsf{n}$
12. $11n\left(\mathsf{n}+5\right)=22m\left(\mathsf{n}+5\right)$
13. Gdy $\mathsf{n}$ jest nieparzyste
14. $\mathsf{n}=2m+1$
15. tym razem czynnika 2 szukamy w drugim nawiasie
16. $\mathsf{n}+5=2\left(\mathsf{m}+3\right)$
17. różnica lub suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta
18. $11n\left(\mathsf{n}+5\right)=22n\left(\mathsf{m}+3\right)$
19. Krok 3. Wniosek
20. w obu przypadkach wychodzi czynnik 22
21. $\boxed{11{\mathbf{n}}^2+55n=22c,\mathbf{c}\in \mathbb{Z}}$

Kluczowe jest to, że liczba $5$ w nawiasie jest nieparzysta - dzięki temu $\mathsf{n}$ oraz $\mathsf{n}+5$ mają różną parzystość i zawsze dokładnie jeden z nich jest parzysty.