Oblicz odległość środka ciężkości

Rozwiązanie krok po kroku

Okrąg opisany i podział środkowej $2:1$

1. Dane
2. $|\mathsf{AC}|=\sqrt{10},|\mathsf{BC}|=\sqrt{14}$
3. Przeciwprostokątna $\mathsf{AB}$
4. $|\mathsf{AB}{|}^2=|\mathsf{AC}{|}^2+|\mathsf{BC}{|}^2=10+14=24$
5. twierdzenie Pitagorasa, kąt prosty leży przy wierzchołku $\mathsf{C}$
6. $|\mathsf{AB}|=\boxed{2\sqrt{6}}$
7. Zadanie 22.1
8. $\mathsf{R}=\frac{1}{2}|\mathsf{AB}|=\boxed{\sqrt{6}}$
9. środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek $\mathsf{O}$ przeciwprostokątnej
10. $\mathsf{P}=\pi {\mathsf{R}}^2=\pi \cdot 6$
11. wzór na szukaną wielkość okręgu
12. $\mathsf{P}=\boxed{6\pi }$
13. Środkowa $\mathsf{BL}$
14. $|\mathsf{BL}{|}^2=|\mathsf{BC}{|}^2+|\mathsf{CL}{|}^2=14+\frac{5}{2}=\frac{33}{2}$
15. $\mathsf{L}$ jest środkiem boku $\mathsf{AC}$, więc $|\mathsf{CL}|=\frac{1}{2}|\mathsf{AC}|$, a trójkąt $\mathsf{BCL}$ ma kąt prosty przy $\mathsf{C}$
16. $|\mathsf{BL}|=\boxed{\frac{\sqrt{66}}{2}}$
17. Zadanie 22.2
18. $|\mathsf{BG}|=\frac{2}{3}|\mathsf{BL}|$
19. środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka
20. $|\mathsf{BG}|=\boxed{\frac{\sqrt{66}}{3}}$

Odległość środka ciężkości od wierzchołka to $\frac{2}{3}$ środkowej, a od środka boku $\frac{1}{3}$ środkowej. Zamiana tych części daje wynik dwa razy za mały albo dwa razy za duży.